Perkalian Vektor pada Fisika

         Blog KoFi - Operasi pada vektor terdiri dari operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Pada artikel sebelumnya telah kita bahas operasi penjumlahan dan pengurangan dengan judul "Penjumlahan vektor menggunakan metode grafis dan analitis" dan "Penjumlahan vektor menggunakan metode uraian". Sekarang kita lanjutkan dengan pembahasan materi Perkalian Vektor pada Fisika. Ada tiga jenis perkalian vektor yang akan kita bahas yaitu Perkalian vektor dengan skalar, Perkalian titik (dot product), dan Perkalian silang (cross product). Apakah perbedaan dari ketiga perkalian vektor tersebut? Untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari artikel ini dengan seksama.

Perkalian vektor dengan skalar

       Untuk memahami sifat perkalian vektor dan skalar, perhatikan sebuah sepeda motor yang melaju dengan kecepatan tertentu, seperti tampak pada gambar berikut:

       Misalkan motor bergerak dengan kecepatan 15 m/s ke utara. Setelah beberapa waktu, motor telah mengalami perpindahan. Seperti pada konsep kecepatan yang telah dipelajari pada tingkat SMP. Dimana, kecepatan adalah perpindahan per selang waktu. Dari pengertian kecepatan ini, kita bisa menghitung perpindahan yang dialami motor dengan persamaan:
$ \begin{align} \vec{s} = \vec{v} \times t \end{align} $

       Dari penjelasan sebalumnya, kita tahu bahwa kecepatan merupakan besaran vektor, sedangkan waktu merupakan besaran skalar. Berdasarkan persamaan tersebut, perkalian kecepatan dengan waktu menghasilkan perpindahan yang termasuk besaran vektor. Jadi kesimpulannya, hasil kali antara vektor dengan skalar adalah vektor.

       Perkalian vektor dengan skalar mempunyai arti yang sederhana. Hasil kali suatu skalar $k$ dengan sebuah vektor $\vec{A}$ dituliskan $k\vec{A}$ didefinisikan sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar $k$ dikalikan dengan besar $\vec{A}$ . Sementara arah vektor ini searah vektor $\vec{A}$ jika $k$ positif, dan berlawanan dengan arah vektor $\vec{A}$ jika $k$ negatif.

       Selain dilakukan perkalian dengan skalar, vektor dapat pula dibagi dengan skalar. Bagaimanakah cara membagi vektor dengan skalar? Perhatikan sebuah bus yang bergerak sejauh 500 m ke selatan dalam waktu 20 sekon. Berapakah kecepatan bus tersebut? Seperti kejadian di depan, kita dapat mencari kecepatan bus tersebut dengan rumus kecepatan. Kecepatan bus tersebut adalah 25 m/s ke selatan. Membagi vektor dengan skalar sama dengan mengalikan vektor itu dengan kebalikan skalar tersebut. Untuk lebih mudah diapahami perhatikan contoh soal berikut ini:

Perkalian titik (dot product)

       Selain perkalian vektor dengan skalar, vektor juga dapat dikalikan dengan vektor lain. Salah satunya adalah perkalian titik (dot product). Untuk mendefinisikan perkalian titik, perhatikan gambar berikut:

       Perkalian titik (baca "dot") dua buah vektor (misal $\vec{A}$ ) dengan komponen vektor kedua ( $\vec{B}$ ) pada arah vektor pertama ($\vec{A}$). Pada gambar di atas, komponen vektor pada vektor adalah $\vec{B} \cos \alpha $. Dari definisi perkalian tersebut, perkalian titik antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \begin{align} \vec{A}.\vec{B} = AB \cos \alpha = |\vec{A}||\vec{B}| \cos \alpha \end{align} $
Keterangan:
$\alpha $ = sudut yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dengan $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ $.
|$\vec{A}$| = besar vektor $\vec{A}$.

       Dari definisi perkalian titik tersebut, dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar. Sekarang, bagaimanakah hasil perkalian dari dua buah vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan? Sesuai dengan perkalian titik, maka vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \widehat{i}.\widehat{i} = \widehat{j}.\widehat{j}=\widehat{k}.\widehat{k}=1 $
$ \widehat{i}.\widehat{j} = \widehat{j}.\widehat{k}=\widehat{k}.\widehat{i}=0 $

Kita dapat mencari hasil perkalian titik yang dinyatakan dalam vektor satuan. Kita ambil contoh vektor $\vec{A}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{A} = A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}$ dan vektor $\vec{B}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{B} = B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}$ . Hasil perkalian antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan sebgai berikut:
$ \vec{A} .\vec{B} = (A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}).(B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}) $
$ \vec{A} .\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z $

Contoh soal :
Vektor gaya dan perpindahan mempunyai persamaan $ \vec{F}=(\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) \, $ N dan $ \vec{s}=(3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \, $ m. Tentukan usaha yang dilakukan gaya!

Penyelesaian :
Diketahui :
$ \vec{F}=(\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) \, $ N
$ \vec{s}=(3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \, $ m
Ditanyakan : $ \vec{W} $ ?
Jawab :
Usaha merupakan hasil perkalian titik antara gaya dan perpindahan.
$ \begin{align} \vec{W} & = \vec{F}.\vec{s} \\ & = (\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) . (3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \\ & = 1.3 + 1.4 + 1.6 \\ & = 3 + 4 + 6 \\ & = 13 \, \, \, \, \, \text{joule} \end{align} $
Jadi, usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah 13 J.

Perkalian silang (cross product)

       Untuk mendefinisikan perkalian silang, perhatikan gambar berikut ini:

Perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ atau dituliskan $ \vec{A} \times \vec{B}$ didefinisikan sebagai perkalian vektor $\vec{A}$ dengan komponen vektor $\vec{B}$ yang tegak lurus dengan vektor $\vec{A}$ . Berdasarkan gambar di atas, komponen vektor yang tegak lurus dengan vektor $\vec{A}$ adalah $B \sin \alpha $. Dari definisi ini, hasil perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan dengan persamaan:
$ \vec{A} \times \vec{B} = \vec{C} $
$ \vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \alpha $

       Hasil dari perkalian titik adalah sebuah skalar, sedangkan hasil dari perkalian vektor adalah sebuah vektor lain (misalnya $\vec{C}$ ) yang mempunyai arah tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ . Arah dari $\vec{C}$ dapat digambarkan seperti berikut:

Dari definisi perkalian silang, perkalian silang antara dua vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \widehat{i} \times \widehat{i} = \widehat{j} \times \widehat{j} = \widehat{k} \times \widehat{k} = 0 $
$ \widehat{i} \times \widehat{j} = \widehat{k} \, \, \, \widehat{j} \times \widehat{k} = \widehat{i} \, \, \, \widehat{k} \times \widehat{i} = \widehat{j} $
$ \widehat{j} \times \widehat{i} = -\widehat{k} \, \, \, \widehat{k} \times \widehat{j} = -\widehat{i} \, \, \, \widehat{i} \times \widehat{k} = -\widehat{j} $

Dari definisi perkalian silang di atas, kita dapat menentukan besar dan arah vektor dari hasil perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ . Kita ambil contoh vektor $\vec{A}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{A} = A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}$ dan vektor $\vec{B}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{B} = B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}$ . Hasil $\vec{A} \times \vec{B} $ dapat dicari sebagai berikut:

Contoh soal :

       Demikian pembahasan materi Perkalian Vektor pada Fisika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "vektor" pada artikel terkait di bawah setiap akhir artikel.

Artikel Terkait