Vektor : Penjumlahan Vektor Metode Grafis dan Analitis

         Blog KoFi - Setelah mempelajari materi "definisi, gambar, dan notasi vektor", pada artikel ini kita akan membahas materi Penjumlahan Vektor Metode Grafis dan Analitis yang merupakan salah satu bagian dari operasi pada vektor. Selain Penjumlahan Vektor Metode Grafis dan Analitis, sebenarnya ada juga materi penjumlahan vektor dengan metode uraian yang akan kita bahas pada artikel berikutnya. Penjumlahan vektor metode grafis dan analitis maksudnya penjumlahan vektor yang diilustrasikan dalam bentuk grafik dan akan kita hitung secara matematisnya (hitungan pastinya).

         Penjumlahan vektor tidak sama dengan penjumlahan skalar. Hal ini karena vektor selain memiliki nilai, juga memiliki arah. Vektor yang diperoleh dari hasil penjumlahan beberapa vektor disebut vektor resultan. Berikut ini akan kita dibahas metode-metode untuk menentukan vektor resultan, diantaranya:
*). Resultan dua vektor sejajar
*). Resultan dua vektor yang saling tegak lurus
*). Resultan dua vektor yang mengapit sudut
*). Selisih dua vektor yang mengapit sudut
*). Melukis resultan vektor dengan metode poligon
*). Vektor nol.

Resultan dua vektor sejajar secara Grafis

       Misalnya, Kita bepergian mengelilingi kota Medan dengan mengendarai sepeda motor. Dua jam pertama, kita bergerak lurus ke timur dan menempuh jarak sejauh 50 km. Setelah istirahat secukupnya, kita kembali melanjutkan perjalanan lurus ke timur sejauh 30 km lagi. Di lihat dari posisi asal, kita telah berpindah sejauh sejauh 50 km + 30 km = 80 km ke timur. Dikatakan, resultan perpindahan kita adalah 80 km ke timur. Secara grafis, perpindahan kita seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

       Sedikit berbeda dengan kasus tersebut, misalnya setelah menempuh jarak lurus 50 km ke timur, kita kembali lagi ke barat sejauh 30 km. Relatif terhadap titik asal, perpindahan kita menjadi 50 km - 30 km = 20 km ke timur. Secara grafis, perpindahan kita diperlihatkan pada gambar berikut:

Catatan :
dari kedua grafik di atas, garis panah warna biru adalah hasil akhir dari penjumlahan atau pengurangan kedua vektor.

Resultan dua vektor sejajar secara Analitis

       Dari kedua contoh, seperti yang diperlihatkan pada kedua gambar, menjumlahkan dua buah vektor sejajar mirip dengan menjumlahkan aljabar biasa. Secara matematis, resultan dua buah vektor sejajar, yakni, sebagai berikut. Jika vektor A dan B searah, besar vektor resultan R, adalah:
R = A $ + $ B
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor A dan B. Sebaliknya, jika kedua vektor tersebut berlawanan, besar resultannya adalah:
R = A $ - $ B
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor yang terbesar.

Resultan dua vektor yang saling tegak lurus secara Grafis

       Misalnya, kita memacu kendaraan kita lurus ke timur sejauh 40 km dan kemudian berbelok tegak lurus menuju utara sejauh 30 km. Secara grafis, perpindahan kita seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

Besar resultan perpindahannya, $r$, diperoleh menggunakan Dalil Pythagoras, yakni sebagai berikut:
$ r = \sqrt{ x^2 + y^2 } = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50 \, $ km.
Dan arahnya:
$ \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \rightarrow \theta = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) = 37^\circ $
terhadap sumbu-x positif (atau 37$^\circ$ dari arah timur).

Resultan dua vektor yang saling tegak lurus secara Analitis

       Dari contoh kasus tersebut, jika dua buah vektor, A dan B, yang saling tegak lurus akan menghasilkan vektor resultan, R, yang besarnya:
R = $\sqrt{A^2 + B^2} $
Dan arahnya:
$ \theta = \tan ^{-1} \left( \frac{B}{A} \right) $
terhadap arah vektor A dengan catatan vektor B searah sumbu-y dan vektor A searah sumbu-x.

Resultan dua vektor yang mengapit sudut secara Grafis

       Sekarang tinjau dua buah vektor, A dan B, yang satu sama lain mengapit sudut seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut:

       Gambar vektor resultannya dapat diperoleh dengan cara menempatkan pangkal vektor B di ujung vektor A. Selanjutnya, tarik garis dari titik pangkal vektor A ke titik ujung vektor B dan buatkan panah tepat di ujung yang berimpit dengan ujung vektor B. Vektor inilah, R, resultan dari vektor A dan B. Hasilnya seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

Resultan dua vektor yang mengapit sudut secara Analitis

       Besar vektor resultan, R, dapat ditentukan secara analitis sebagai berikut. Perhatikan gambar di bawah ini:

Vektor C dan D diberikan sebagai alat bantu sehingga vektor A + C tegak lurus vektor D dan ketiganya membentuk resultan yang sama dengan resultan dari vektor A dan B, yaitu R . Dengan menggunakan Dalil Pythagoras, besarnya vektor resultan R adalah:
$ R = \sqrt{(A+C)^2 + D^2 } = \sqrt{A^2 + 2AC + C^2 + D^2 } $
Selanjutnya, juga dengan menggunakan Dalil Pythagoras, dari gambar diperoleh:
$C^2 + D^2 = B^2 $
dan dari trigonometri,
$ \cos \theta = \frac{C}{B} \, $ atau $ C = B \cos \theta $
Dengan memasukkan dua persamaan terakhir ke persamaan pertama, diperoleh besarnya vektor resultan R.
$ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta } $

Selisih dua vektor yang mengapit dua sudut Secara Grafis

       Vektor A dan vektor $-$A, memiliki besar yang sama, yakni $|A| = |-A| = A$, tetapi arahnya berlawanan seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

Selisih dari dua buah vektor, misalnya vektor $A - B$, secara grafis sama dengan jumlah antara vektor A dan vektor $-$B, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini:

Selisih dua vektor yang mengapit dua sudut Secara Analitis

       Secara matematis, vektor selisihnya ditulis $R = A - B$. Secara analitis, besar vektor selisihnya ditentukan dari persamaan:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta } $
dengan mengganti $\theta $ dengan $ 180^\circ - \theta $ . Oleh karena, $ \cos ( ) = - \cos \theta $ sehingga diperoleh:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta } $

Melukis resultan vektor dengan metode poligon Secara Grafis dan Analitis

       Jika terdapat tiga buah vektor, A, B, dan C, yang besar dan arahnya berbeda seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini:

resultannya dapat diperoleh dengan cara menggunakan metode poligon, yakni sebagai berikut.
a. Hubungkan titik tangkap vektor B pada ujung vektor A dan titik pangkal vektor C pada ujung vektor B.
b. Buat vektor resultan, R, dengan titik tangkap sama dengan titik pangkal vektor A dan ujung panahnya tepat di titik ujung vektor C.
Hasilnya seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini:

Secara matematis, vektor resultan pada gambar di atas ditulis sebagai berikut:
$R = A + B + C $

Perhatikan juga gambar vektor berikut ini:

Resultan dari gambar di atas dapat ditulis:
$ R = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5 + V_6 $

Vektor Nol secara Grafis dan Analitis

       Vektor nol adalah vektor hasil penjumlahan beberapa buah vektor yang hasilnya nol. Sebagai contoh, lima buah vektor, A, B, C, D, dan E, menghasilkan resultan sama dengan nol maka secara matematis ditulis:
$ A + B + C + D + E = 0 $
Dengan menggunakan metode poligon, secara grafis vektor-vektor tersebut diperlihatkan seperti pada gambar berikut:

Perhatikan bahwa ujung vektor terakhir (vektor E) bertemu kembali dengan titik pangkal vektor pertama (vektor A).

Contoh Soal :
Dua buah vektor satu sama lain membentuk sudut 60$^\circ$. Besar kedua vektor tersebut sama, yakni 5 satuan. Tentukanlah
a. resultan, dan
b. selisih kedua vektor tersebut.

Penyelesaian :
Misalnya, kedua vektor tersebut adalah A dan B. Besarnya, A = B = 5 dan sudutnya $\theta = 60^\circ$.
a. Resultannya dapat dicari menggunakan persamaan:
$ \begin{align} R & = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta } \\ & = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2. 5 . 5 \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{25 + 25 + 50 . \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{25 + 25 + 25} \\ & = \sqrt{75} \\ & = 5\sqrt{3} \, \, \, \, \, \, \text{(satuan)} \end{align} $
b. Selisih kedua vektor tersebut menggunakan persamaan:
$ \begin{align} R & = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta } \\ & = \sqrt{5^2 + 5^2 - 2. 5 . 5 \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{25 + 25 - 50 . \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{25 + 25 - 25} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(satuan)} \end{align} $

       Demikian pembahasan materi Penjumlahan Vektor Metode Grafis dan Analitis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Penjumlahan vektor menggunakan metode uraian.

Perkalian Vektor pada Fisika

         Blog KoFi - Operasi pada vektor terdiri dari operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Pada artikel sebelumnya telah kita bahas operasi penjumlahan dan pengurangan dengan judul "Penjumlahan vektor menggunakan metode grafis dan analitis" dan "Penjumlahan vektor menggunakan metode uraian". Sekarang kita lanjutkan dengan pembahasan materi Perkalian Vektor pada Fisika. Ada tiga jenis perkalian vektor yang akan kita bahas yaitu Perkalian vektor dengan skalar, Perkalian titik (dot product), dan Perkalian silang (cross product). Apakah perbedaan dari ketiga perkalian vektor tersebut? Untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari artikel ini dengan seksama.

Perkalian vektor dengan skalar

       Untuk memahami sifat perkalian vektor dan skalar, perhatikan sebuah sepeda motor yang melaju dengan kecepatan tertentu, seperti tampak pada gambar berikut:

       Misalkan motor bergerak dengan kecepatan 15 m/s ke utara. Setelah beberapa waktu, motor telah mengalami perpindahan. Seperti pada konsep kecepatan yang telah dipelajari pada tingkat SMP. Dimana, kecepatan adalah perpindahan per selang waktu. Dari pengertian kecepatan ini, kita bisa menghitung perpindahan yang dialami motor dengan persamaan:
$ \begin{align} \vec{s} = \vec{v} \times t \end{align} $

       Dari penjelasan sebalumnya, kita tahu bahwa kecepatan merupakan besaran vektor, sedangkan waktu merupakan besaran skalar. Berdasarkan persamaan tersebut, perkalian kecepatan dengan waktu menghasilkan perpindahan yang termasuk besaran vektor. Jadi kesimpulannya, hasil kali antara vektor dengan skalar adalah vektor.

       Perkalian vektor dengan skalar mempunyai arti yang sederhana. Hasil kali suatu skalar $k$ dengan sebuah vektor $\vec{A}$ dituliskan $k\vec{A}$ didefinisikan sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar $k$ dikalikan dengan besar $\vec{A}$ . Sementara arah vektor ini searah vektor $\vec{A}$ jika $k$ positif, dan berlawanan dengan arah vektor $\vec{A}$ jika $k$ negatif.

       Selain dilakukan perkalian dengan skalar, vektor dapat pula dibagi dengan skalar. Bagaimanakah cara membagi vektor dengan skalar? Perhatikan sebuah bus yang bergerak sejauh 500 m ke selatan dalam waktu 20 sekon. Berapakah kecepatan bus tersebut? Seperti kejadian di depan, kita dapat mencari kecepatan bus tersebut dengan rumus kecepatan. Kecepatan bus tersebut adalah 25 m/s ke selatan. Membagi vektor dengan skalar sama dengan mengalikan vektor itu dengan kebalikan skalar tersebut. Untuk lebih mudah diapahami perhatikan contoh soal berikut ini:

Perkalian titik (dot product)

       Selain perkalian vektor dengan skalar, vektor juga dapat dikalikan dengan vektor lain. Salah satunya adalah perkalian titik (dot product). Untuk mendefinisikan perkalian titik, perhatikan gambar berikut:

       Perkalian titik (baca "dot") dua buah vektor (misal $\vec{A}$ ) dengan komponen vektor kedua ( $\vec{B}$ ) pada arah vektor pertama ($\vec{A}$). Pada gambar di atas, komponen vektor pada vektor adalah $\vec{B} \cos \alpha $. Dari definisi perkalian tersebut, perkalian titik antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \begin{align} \vec{A}.\vec{B} = AB \cos \alpha = |\vec{A}||\vec{B}| \cos \alpha \end{align} $
Keterangan:
$\alpha $ = sudut yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dengan $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ $.
|$\vec{A}$| = besar vektor $\vec{A}$.

       Dari definisi perkalian titik tersebut, dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar. Sekarang, bagaimanakah hasil perkalian dari dua buah vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan? Sesuai dengan perkalian titik, maka vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \widehat{i}.\widehat{i} = \widehat{j}.\widehat{j}=\widehat{k}.\widehat{k}=1 $
$ \widehat{i}.\widehat{j} = \widehat{j}.\widehat{k}=\widehat{k}.\widehat{i}=0 $

Kita dapat mencari hasil perkalian titik yang dinyatakan dalam vektor satuan. Kita ambil contoh vektor $\vec{A}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{A} = A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}$ dan vektor $\vec{B}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{B} = B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}$ . Hasil perkalian antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan sebgai berikut:
$ \vec{A} .\vec{B} = (A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}).(B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}) $
$ \vec{A} .\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z $

Contoh soal :
Vektor gaya dan perpindahan mempunyai persamaan $ \vec{F}=(\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) \, $ N dan $ \vec{s}=(3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \, $ m. Tentukan usaha yang dilakukan gaya!

Penyelesaian :
Diketahui :
$ \vec{F}=(\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) \, $ N
$ \vec{s}=(3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \, $ m
Ditanyakan : $ \vec{W} $ ?
Jawab :
Usaha merupakan hasil perkalian titik antara gaya dan perpindahan.
$ \begin{align} \vec{W} & = \vec{F}.\vec{s} \\ & = (\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) . (3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \\ & = 1.3 + 1.4 + 1.6 \\ & = 3 + 4 + 6 \\ & = 13 \, \, \, \, \, \text{joule} \end{align} $
Jadi, usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah 13 J.

Perkalian silang (cross product)

       Untuk mendefinisikan perkalian silang, perhatikan gambar berikut ini:

Perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ atau dituliskan $ \vec{A} \times \vec{B}$ didefinisikan sebagai perkalian vektor $\vec{A}$ dengan komponen vektor $\vec{B}$ yang tegak lurus dengan vektor $\vec{A}$ . Berdasarkan gambar di atas, komponen vektor yang tegak lurus dengan vektor $\vec{A}$ adalah $B \sin \alpha $. Dari definisi ini, hasil perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan dengan persamaan:
$ \vec{A} \times \vec{B} = \vec{C} $
$ \vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \alpha $

       Hasil dari perkalian titik adalah sebuah skalar, sedangkan hasil dari perkalian vektor adalah sebuah vektor lain (misalnya $\vec{C}$ ) yang mempunyai arah tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ . Arah dari $\vec{C}$ dapat digambarkan seperti berikut:

Dari definisi perkalian silang, perkalian silang antara dua vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \widehat{i} \times \widehat{i} = \widehat{j} \times \widehat{j} = \widehat{k} \times \widehat{k} = 0 $
$ \widehat{i} \times \widehat{j} = \widehat{k} \, \, \, \widehat{j} \times \widehat{k} = \widehat{i} \, \, \, \widehat{k} \times \widehat{i} = \widehat{j} $
$ \widehat{j} \times \widehat{i} = -\widehat{k} \, \, \, \widehat{k} \times \widehat{j} = -\widehat{i} \, \, \, \widehat{i} \times \widehat{k} = -\widehat{j} $

Dari definisi perkalian silang di atas, kita dapat menentukan besar dan arah vektor dari hasil perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ . Kita ambil contoh vektor $\vec{A}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{A} = A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}$ dan vektor $\vec{B}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{B} = B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}$ . Hasil $\vec{A} \times \vec{B} $ dapat dicari sebagai berikut:

Contoh soal :

       Demikian pembahasan materi Perkalian Vektor pada Fisika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "vektor" pada artikel terkait di bawah setiap akhir artikel.

Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Uraian

         Blog KoFi - Sebelumnya kita telah mempelajari artikel "Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Grafis dan Analitis", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Uraian. Dalam beberapa kasus, seringkali kita menjumlahkan beberapa vektor yang lebih dari dua buah. Secara grafis, metode yang digunakan adalah metode poligon, seperti yang telah disinggung sebelumnya. Akan tetapi, bagaimanakah cara menentukan besar dan arah vektor resultannya? Salah satu metode yang digunakan adalah metode uraian, seperti yang akan kita bahas pada beberapa pokok bahasan artikel berikut ini:
*). Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya
*). Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya.

Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya

       Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus. Vektor-vektor baru hasil uraian disebut vektor-vektor komponen. Ketika sebuah vektor telah diuraikan menjadi vektor-vektor komponennya, vektor tersebut dianggap tidak ada karena telah diwakili oleh vektor-vektor komponennya. Sebagai contoh, ketika Anda menguraikan sekarung beras 50 kg menjadi dua karung dengan masing-masing 20 kg dan 30 kg, apakah karung yang berisi 50 kg tetap ada? Perhatikan gambar berikut ini:

Gambar: menguraikan sebuah vektor menjadi dua komponen yang saling tegak lurus

       Gambar di atas memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. A$_x$ adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan A$_y$ adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi $ \sin \theta $ dan $ \cos \theta $ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut:
$ A_x = A \cos \theta \, $ dan $ A_y = A \sin \theta $
Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan:
$ A = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 } $
Selanjutnya, hubungan antara A$_x$ dan A$_y$ diberikan oleh:
$ \tan \theta = \frac{A_y}{A_x} $

Contoh Soal Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya:

1). Sebuah vektor panjangnya 20 cm dan membentuk sudut 30$^\circ$ terhadap sumbu-x positif seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

Tentukanlah komponen-komponen vektor tersebut pada sumbu-x dan sumbu-y.

Jawab:
Menggunakan persamaan di atas, akan diperoleh:
$ A_x = A \cos \theta \, $ dan $ A_y = A \sin \theta $
$ A_x = A \cos 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2}\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \, $ cm
$ A_y = A \sin 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \, $ cm

Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya

       Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian.
Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.
a. Buat koordinat kartesius x-y.
b. Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.
c. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.
d. Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu, misalnya
$\sum R_x $ = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.
$ \sum R_y $ = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.
e. Besar vektor resultannya:
$ \begin{align} R = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \end{align} $
Dan arahnya terhadap sumbu-x positif:
$ \tan \theta = \frac{ \sum R_y}{ \sum R_x} $

Contoh Soal Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya (metode uraian) :

2). Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya $F_1$ = 10 N, $F_2$ = 30 N, dan $F_3$ = 20 N. Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah resultan ketiga vektor tersebut (besar dan arahnya).

Jawab :
Uraian setiap vektor pada sumbu-x dan sumbu-y, seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Besar komponen-komponen setiap vektornya:
$ F_{1x} = F_1 \cos 37^\circ = 10 \times 0,8 = 8 \, $ N
$ F_{1y} = F_1 \sin 37^\circ = 10 \times 0,6 = 6 \, $ N
$ F_{2x} = F_2 \cos 53^\circ = 30 \times 0,6 = 18 \, $ N
$ F_{2y} = F_2 \sin 53^\circ = 30 \times 0,8 = 24 \, $ N
$ F_{3y} = F_3 \cos 37^\circ = 20 \times 0,8 = 16 \, $ N
$ F_{3x} = F_3 \sin 37^\circ = 20 \times 0,6 = 12 \, $ N
Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:
$ \sum R_x = F_{1x} - F_{2x} - F_{3x} = 8 - 18 - 12 = -22 \, $ N
$ \sum R_y = F_{1y} + F_{2y} - F_{3y} = 6 + 24 - 16 = 14 \, $ N
Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut:
$ \begin{align} R & = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \left( -22 \right)^2 + \left( 14 \right)^2 } \\ & = \sqrt{ 484 + 196 } \\ & = \sqrt{ 680 } \\ & = 26,1 \, \, \, \text{N} \end{align} $
Dan arahnya terhadap sumbu-x positif:
$ \tan \theta = \frac{ \sum R_y}{ \sum R_x} = \frac{14}{-22} = -0,64 \rightarrow \theta = 212,5 ^\circ $

3). Tiga vektor masing-masing $F_1$ = 10 N, $F_2$ = 16 N, dan $F_3$ = 12 N, disusun seperti pada gambar. (Soal UAN 2004:)

Jika $ \alpha = 37^\circ $, besar resultan ketiga vektor adalah ....
a. 5 N b. 8 N c. 10 N d. 12 N e. 18 N

Penyelesaian Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 16 N,dan F3 = 12 N.
Besar komponen pada sumbu-x :
$ F_{1x} = F1 \cos \alpha = 10 \cos 37^\circ = 8 \, $ N
$ F_{2x} = 16 \, $ N
$ F_{3x} = 0 \, $ N
Besar komponen pada sumbu-y :
$ F_{1y} = F1 \sin \alpha = 10 \sin 37^\circ = 6 \, $ N
$ F_{2y} = 0 \, $ N
$ F_{3y} = 12 \, $ N
Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:
$ \sum R_x = F_{1x} - F_{2x} + F_{3x} = 8 - 16 + 0 = -8 \, $ N
$ \sum R_y = F_{1y} + F_{2y} - F_{3y} = 6 + 0 - 12 = -6 \, $ N
Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut:
$ \begin{align} R & = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \left( -8 \right)^2 + \left( -6 \right)^2 } \\ & = \sqrt{ 64 + 36 } \\ & = \sqrt{ 100 } \\ & = 10 \, \, \, \text{N} \end{align} $
Jadi, jawabannya: C

4). Ditentukan dua buah vektor yang sama besarnya, yaitu F. Bila perbandingan antara besar jumlah dan selisih kedua vektor sama dengan $\sqrt{3}$ maka sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah .... (Soal SPMB 2002:)
a. 30$^\circ \, $ d. 60$^\circ \, $
b. 37$^\circ \, $ e. 120$^\circ \, $
c. 45$^\circ \, $

Penyelesaian:
Diketahui dua buah vektor besarnya = F
Besar jumlah vektor adalah:
$ R_1 = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F.F. \cos \theta } = \sqrt{2F^2 + 2F^2. \cos \theta } $
Besar selisih kedua vektor adalah:
$ R_1 = \sqrt{F^2 + F^2 - 2F.F. \cos \theta } = \sqrt{2F^2 - 2F^2. \cos \theta }$
Jika perbandingan nilai R1 dan R2 adalah $\sqrt{3}$ maka sudut $\theta $ dapat dihitung sebagai berikut:
$ \begin{align} \frac{R_1}{R_2} & = \sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{2F^2 + 2F^2. \cos \theta }}{\sqrt{2F^2 - 2F^2. \cos \theta }} & = \sqrt{3} \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta }{ 2F^2 - 2F^2. \cos \theta } & = 3 \\ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta & = 3 (2F^2 - 2F^2. \cos \theta ) \\ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta & = 6F^2 - 6F^2. \cos \theta \\ 2F^2. \cos \theta + 6F^2. \cos \theta & = 6F^2 - 2 F^2 \\ 8F^2. \cos \theta & = 4F^2 \\ \cos \theta & = \frac{4F^2}{8F^2} \\ \cos \theta & = \frac{1}{2} \\ \theta & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, jawabannya: D.

       Demikian pembahasan materi Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Uraian dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan perkalian vektor.

Definisi, Gambar, dan Notasi Vektor

         Blog KoFi - Seperti telah disinggung sebelumnya tentang contoh serta ilustrasi vektor pada artikel "vektor pada fisika", besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Itulah definisi vektor yang kita bahas pada artikel ini yaitu Definisi, Gambar, dan Notasi Vektor. Dalam ilmu Fisika, banyak besaran yang termasuk vektor, di antaranya perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum. Selain besaran vektor, ada juga besaran yang hanya memiliki nilai. Besaran seperti ini disebut besaran skalar. Besaran yang termasuk besaran skalar, di antaranya massa, waktu, kuat arus, usaha, energi, dan suhu.

         Sebuah vektor digambarkan oleh sebuah anak panah. Panjang anak panah mewakili besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah mewakili arah vektor. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya, misalnya $\vec{A}$ atau $\vec{AB}$ . Vektor juga bisa digambarkan oleh sebuah huruf yang dicetak tebal dan miring, misalnya A atau B. Gambar di bawah ini menunjukkan gambar beberapa vektor dengan notasinya. Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut ujung vektor.

         Besar sebuah vektor dapat ditulis dengan beberapa cara, di antaranya dengan memberi tanda mutlak ($| \, |$) atau dicetak miring tanpa ditebalkan. Sebagai contoh, besar vektor A ditulis |A|atau A dan besar vektor B ditulis |B| atau B. Arah sebuah vektor dinyatakan oleh sudut tertentu terhadap arah acuan tertentu. Umumnya, sudut yang menyatakan arah sebuah vector dinyatakan terhadap sumbu-x positif. Gambar di bawah ini memperlihatkan tiga buah vektor A, B, dan C dengan arah masing-masing membentuk sudut 45$^\circ$, 90$^\circ$, dan 225$^\circ$ terhadap sumbu-x positif.

Gambar: arah vektor oleh sudut yang dibentuknya 

terhadap sumbu-x positif

       Demikian pembahasan materi Definisi, Gambar, dan Notasi Vektor. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Penjumlahan vektor menggunakan metode grafis dan analitis.

Vektor pasa Fisika

         Blog KoFi - Pernahkah teman-teman mengarungi lautan menggunakan perahu layar? Ketika perahu layar mencoba untuk bergerak lurus, tiba-tiba angin dan ombak lautan menghambat perjalanan sehingga kita tidak dapat mencapai tujuan dengan tepat. Untuk dapat sampai di tempat tujuan, kita harus mengubah arah pergerakan perahu layar kita dan memperkirakan arah gerak angin dan ombak tersebut. Begitu pun jika kalian berenang di sungai yang memiliki aliran yang kuat, teman-teman perlu berjuang melawan arus aliran sungai agar dapat mencapai tujuan yang diinginkan. Besarnya kecepatan arus aliran sungai dapat menentukan seberapa jauh penyimpangan kita ketika berenang. Inilah beberapa contoh aplikasi atau penerapan vektor yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Gambar: perahu berlayar di lautan

Sumber: www.tallship.org

         Ketika seseorang bertanya di mana letak sekolah kita dari tempat kita berada saat itu, apa jawaban kalian? Cukupkah dengan menjawab, "Sekolah saya berjarak 2 km dari sini?". Tentu saja jawaban teman-teman belum lengkap. Tempat yang berjarak 2 km dari posisi Anda sangatlah banyak, bisa ke arah timur, barat, selatan, atas, dan bahkan ke bawah. Oleh karena itu wajar jika orang tadi melanjutkan pertanyaannya sebagai berikut "ke arah mana?". Jawaban yang dapat menyatakan letak atau posisi sekolah Anda secara tepat adalah "Sekolah saya berjarak 2 km dari Jogja ke timur". Pernyataan ini memperlihatkan bahwa untuk menunjukkan posisi suatu tempat secara tepat, memerlukan data jarak (nilai besaran) dan arah. Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut besaran vektor.

         Dalam kehidupan sehari-hari, banyak peristiwa yang berkaitan dengan besaran vektor. Ketika kita naik sebuah perahu di sungai Musi, kita pasti menginginkan arahnya tegak lurus terhadap arus sungai. Arah gerak perahu tidak akan lurus tiba di seberang, melainkan bergeser searah gerak aliran air. Vektor kita pelajari di pelajaran Matematika dan pelajaran Fisika yang tentu ada perbedaan dalam penekanan materi yang akan dibahas. Pada artikel ini kita akan membahas vektor pada Fisika.

         Mengapa hal tersebut dapat terjadi? Semua yang kita alami tersebut berhubungan dengan vektor. Untuk lebih memahami materi mengenai vektor, pelajarilah bahasan-bahasan berikut ini dengan saksama. Beberapa pokok bahasan yang akan dipelajari pada artikel vektor pada fisika ini diantaranya:
*). Definisi, gambar, dan notasi vektor
*). Penjumlahan vektor menggunakan metode grafis dan analitis
*). Penjumlahan vektor menggunakan metode uraian.
*). Perkalian vektor

       Demikian pembahasan materi vektor pada Fisika. Untuk mempelajari materi vektor pada fisika lebih lengkap, sebaiknya teman-teman langsung membaca sub-materi yang ada di atas, atau langsung membacanya melalui artikel terkait dibagian akhir setiap artikel. Semoga materi ini bermanfaat. Terima kasih.