Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)

         Blog KoFi - Setelah mempelajari materi mengenai "gerak lurus beraturan (GLB)", Kita tentu harus mengetahui bahwa tidak ada benda yang selalu dapat bergerak dengan kecepatan konstan. Sebuah benda yang bergerak tidak selalu memiliki kecepatan yang konstan dan lintasan yang lurus. Dalam kehidupan sehari-hari, setiap benda cenderung untuk mempercepat dan memperlambat secara tidak beraturan. Gerak seperti ini yang disebut dengan Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) yang akan kita bahas pada artikel ini sebagai bagian dari "kinematika gerak".

         Seringkali selama pergerakannya, kecepatan sebuah benda misalnya sepeda motor berubah baik besar maupun arahnya ataupun keduanya. Dikatakan bahwa benda mengalami percepatan. Pada suatu ketika jalannya diperlambat pada saat direm atau gasnya diturunkan dan dipercepat pada saat gasnya dinaikkan. Pergerakan seperti ini disebut sebagai Gerak Berubah Beraturan (GBB).

         Gerak lurus berubah beraturan (GLBB) didefinisikan sebagai gerak benda pada lintasan lurus dan kecepatan, berubah secara teratur. GLBB adalah gerak suatu benda pada lintasan garis lurus yang percepatannya tetap. Percepatan tetap menunjukkan bahwa besar dan arahnya sama. Analog dengan GLB, jarak yang ditempuh pada GLBB dapat dicari dengan menghitung luas atau dengan bentuk persamaan berikut:

Perhatikan gambar berikut :

Jika Anda perhatikan Gambar di atas, akan diperoleh sebuah persamaan percepatan, yaitu besarnya tangen $\alpha$ .
Dari persamaan percepatan rata-rata, diperoleh
       $ \begin{align} a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \end{align} $
dengan $\Delta v = v_t - v_0, \, v_t \, $ adalah kecepatan akhir, $v_0$ adalah kecepatan awal dan $\Delta t = t - t_0$. Oleh karena $t_0 = 0$, maka $ \Delta t = t - t_0 = t - 0 = t $. Persamaan di atas menjadi,
       $ \begin{align} a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \rightarrow a = \frac{v_t - v_0}{t} \end{align} $
Dengan mengalikan silang persamaan tersebut, akan diperoleh persamaan baru
       $ \begin{align} at = v_t - v_0 \, \text{ atau } \, v_t = v_0 + at \end{align} $

Menentukan rumus jarak :
Ilustrasi gambar.

Jarak yang ditempuh ($s$) sama dengan luas daerah yang diarsir.
Kita gunakan juga rumus : $ \begin{align} v_t = v_0 + at \end{align} $
$\begin{align} s & = \text{ Luas Trapesium} \\ & = \frac{1}{2}t(v_t + v_0) \, \ , \, \, \text{(ganti } v_t) \\ & = \frac{1}{2}t(v_0 + at + v_0) \\ & = \frac{1}{2}t(2v_0 + at) \\ & = \frac{1}{2}t.2v_0 + \frac{1}{2}t.at \\ & = v_0.t + \frac{1}{2}at^2 \end{align} $
Sehingga rumusnya : $ \begin{align} s = v_0.t + \frac{1}{2}at^2 \end{align} $
Keterangan :
$ s = \, $ jarak (m)
$ v_0 = \, $ kecepatan mula-mula (m/s)
$ v_t = \, $ kecepatan setelah $ t $ (m/s)
$ a = \, $ percepatan (m/s$^2$)
$ t = \, $ waktu (s)

Dari Rumus $ v_t = v_0 + t $ dan $ s = v_0.t + \frac{1}{2}at^2 $ , kita akan peroleh :
$ v_t = v_0 + t \rightarrow t = \frac{v_t - v_0}{a} $
Kita substitusikan ke rumus jaraknya :
$ \begin{align} s & = v_0.t + \frac{1}{2}at^2 \\ s & = v_0.\left( \frac{v_t - v_0}{a} \right) + \frac{1}{2}a\left(\frac{v_t - v_0}{a}\right)^2 \\ s & = \left( \frac{v_tv_0 - v_0^2}{a} \right) + \frac{1}{2}a\left(\frac{v_t^2 - 2v_tv_0 + v_0^2}{a^2}\right) \\ s & = \left( \frac{v_tv_0 - v_0^2}{a} \right) + \frac{1}{2}\left(\frac{v_t^2 - 2v_tv_0 + v_0^2}{a}\right) \, \, \, \, \, \text{(kali } 2a) \\ 2as & = 2a.\left( \frac{v_tv_0 - v_0^2}{a} \right) + 2a.\frac{1}{2}\left(\frac{v_t^2 - 2v_tv_0 + v_0^2}{a}\right) \\ 2as & = \left( 2v_tv_0 - 2v_0^2 \right) + \left( v_t^2 - 2v_tv_0 + v_0^2 \right) \\ 2as & = v_t^2 - v_0^2 \\ v_t^2 & = v_0^2 + 2as \end{align} $
Kita peroleh rumus : $ v_t^2 = v_0^2 + 2as $.

Persamaan di atas berlaku untuk GLBB yang dipercepat, karena GLBB ada dua macam, yaitu GLBB dipercepat ($a > 0$) dan GLBB diperlambat ($a < 0$).

Persamaan untuk GLBB diperlambat dapat ditulis seperti berikut:
$ \begin{align} v_t & = v_0 - at \\ s & = v_0.t - \frac{1}{2}at^2 \\ v_t^2 & = v_0^2 - 2as \end{align} $

Contoh soal gerak lurus berubah beraturan (GLBB) :

1). Budi mengendarai sepeda motor balap dengan percepatan 3 m/s$^2$ . Tentukanlah kecepatan Budi setelah bergerak selama 10 sekon, jika kecepatan awalnya nol!
Diketahui : $a = 3 \, m/s^2 , \, t = 10 \, s, \, v_0 = 0 \, m/s $
Ditanyakan: $v_t = ...? $
Jawab:
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ & = 0 + 3 \times 10 \\ & = 0 + 30 \\ & = 30 \, \, \, m/s \end{align} $
Jadi, kecepatan Budi setelah 10 sekon adalah 30 m/s.

2). Sebuah pesawat terbang dipercepat dari kecepatan 20 m/s menjadi 40 m/s dalam waktu 10 sekon. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat dalam waktu tersebut?
Penyelesaian :
Diketahui : $ v_0 = 20 \, m/s , \, v_t = 40 \, m/s, \, t = 10 \, s $
Ditanya : jarak ($s$) = ... ?
Jawab :
*). Menentukan besar percepatan ($a$) :
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ 40 & = 20 + a \times 10 \\ 40 - 20 & = 10a \\ 20 & = 10a \\ a & = 2 \, m/s^2 \end{align} $
*). Menentukan jarak yang ditempuh :
$ \begin{align} s & = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ & = 20 \times 10 + \frac{1}{2} \times 2 \times 10^2 \\ & = 200 + 100 \\ & = 300 \, m \end{align} $
Jadi, jarak yang ditempuh adalah 300 m.

Cara II :
Kita gunakan rumus : $ v_t^2 = v_0^2 + 2as $
$ \begin{align} v_t^2 & = v_0^2 + 2as \\ 40^2 & = 20^2 + 2 \times 2 \times s \\ 1600 & = 400 + 4s \\ 1600 - 400 & = 4s \\ 1200 & = 4s \\ s & = \frac{1200}{4} = 300 \, m \end{align} $
Jadi, jarak yang ditempuh adalah 300 m.

3). Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan 10 m/s. Karena jalannya sepi dan lurus pengemudinya mempercepat mobilnya sebesar 0,5 m/s$^2$ hingga kecepatannya menjadi 30 m/s. Berapakah jarak yang ditempuh mobil selama itu?
Penyelesaian :
Diketahui : $ v_0 = 10 \, m/s, \, v_t = 30 \, m/s , \, a = 0,5 \, m/s^2 $
Ditanya : Jarak ($s$) = ... ?
Jawab :
$ \begin{align} v_t^2 & = v_0^2 + 2as \\ 30^2 & = 10^2 + 2 \times 0,5 \times s \\ 900 & = 100 + s \\ s & = 800 \, m \end{align} $
Jadi, jarak yang ditempuh adalah 800 m.

4). Dari kecepatan 15 m/s, Kiran mempercepat kecepatan mobilnya dengan percepatan tetap 2 m/s$^2$. Tentukan waktu yang diperlukan Kiran untuk menempuh jarah 54 meter!
Diketahui : $ a = 2 \, m/s^2, \, s = 54 \, m, \, v_0 = 15 \, m/s $
Ditanyakan : $ t = ...?$
Jawab:
$ \begin{align} s & = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ 54 & = 15 \times t + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2 \\ 54 & = 15 t + t^2 \\ 0 & = t^2 + 15 t - 54 \\ 0 & = (t+18)(t-3) \\ t & = -18 \vee t = 3 \end{align} $
Karena waktu selalu posisitif, maka yang memenuhi adalah $ t = 3 \, $ s.
Jadi, waktu yang dibutuhkan Kiran untuk menempuh jarak 54 meter adalah 3 detik.

Cara II : Menggunakan rumus $ v_t = v_0 + at $
*). Menentukan $ v_t $ :
$ \begin{align} v_t^2 & = v_0^2 + 2as \\ v_t^2 & = 15^2 + 2 \times 2 \times 54 \\ v_t^2 & = 225 + 216 \\ v_t^2 & = 441 \\ v_t & = \sqrt{441} = 21 \, m/s \end{align} $
*). Menentukan waktu ($t$) :
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ 21 & = 15 + 2 \times t \\ 21 - 15 & = 2t \\ 6 & = 2t \\ t & = \frac{6}{2} = 3 \, s \end{align} $
Jadi, waktu yang dibutuhkan Kiran untuk menempuh jarak 54 meter adalah 3 detik.

5). Sebuah titik partikel melakukan gerak dengan grafik hubungan kecepatan (v) terhadap waktu (t) seperti terlihat pada gambar dibawah ini:

a. Jelaskan gerakan titik partikel selama 8 sekon!
b. Berapakah jarak yang ditempuh titik partikel selama 8 sekon tersebut?
Jawab:
a. Gerakan titik partikel selama 8 sekon :
*). 4 sekon pertama GLBB dipercepat dengan:
$v_0 = 0, \, $ dan $ \, v_t = 10 \, m/s$ dan
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ 10 & = 0 + a \times 4 \\ 10 & = 4a \\ a & = \frac{10}{4} = 2,5 \, m/s^2 \end{align} $
*). 2 sekon kedua GLB dengan $ v = 10 \, $ m/s
*). 2 sekon ketiga GLBB diperlambat dengan:
$v_0 = 10 \, m/s , \, $ dan $ \, v_t = 0 \, $ dan
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ 0 & = 10 + a \times 2 \\ -10 & = 2a \\ a & = \frac{-10}{2} = -5 \, m/s^2 \end{align} $

b. Jarak yang ditempuh titik partikel selama 8 sekon tersebut :
$ \begin{align} s & = \text{ luas I + luas II + luas III } \\ & = (\frac{1}{2} . 4 . 10) + (2 . 10) + (\frac{1}{2} . 2 . 10) \\ & = 20 + 20 + 10 = 50 \, m \end{align} $

6). Sebuah sepeda motor bergerak dengan kelajuan 54 km/jam. Pengendara sepeda motor kemudian mulai memperlambat motornya dengan perlambatan tetap. 4 menit setelah pengereman, sepeda motor tersebut berhenti. Tentukan :
a). perlambatan sepeda motor!
b). jarak yang ditempuh sepeda motor setelah pengereman!
c). kelajuan motor 1 menit setelah pengeraman!
Penyelesaian :
Diketahu :
$ v_0 = 54 \, km/jam = 15 \, m/s $
$ v_t = 0 \, km/jam $ (berhenti)
$ t = 4 \, $ menit = 240 s.
Ditanya :
a). $ a $ , b). $ s $ , c). $ v_t $ untuk $ t = 1 $ menit.
Jawab :
a). besar perlambatan ($a$) :
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ 0 & = 15 + a \times 240 \\ -15 & = 240a \\ a & = \frac{-15}{240} = - \frac{1}{16} \, m/s^2 \end{align} $
Jadi, perlambatan motor tersebut adalah $ \frac{1}{16} \, $ m/s$^2$.

b). Jarak tempuh motor :
$ \begin{align} s & = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ & = 15 \times 240 + \frac{1}{2} \times \left( - \frac{1}{16} \right) \times 240^2 \\ & = 3600 - 1800 \\ & = 1800 \, m = 1,8 \, km \end{align} $
Jadi, jarak yang ditempuh motor selama pengereman adalah 1,8 km.

c). kelajuan motor 1 menit (60 sekon)setelah pengeraman
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ & = 15 + \left( - \frac{1}{16} \right) \times 60 \\ & = 15 - \frac{15}{4} \\ & = 15 - 3\frac{3}{4} \\ & = 11\frac{1}{4} \, m/s \end{align} $
Jadi, kelajuan motor pada saat $ t = \, $ 1 menit adalah $ 11\frac{1}{4} \, $ m/s.

7). Sepeda motor Susi bergerak dari keadaan diam dan setelah 12 s, sepeda motor bergerak dengan kecepatan 60 m/s.
a). Hitunglah percepatan sepeda motor Susi.
b). Berapa kecepatan setelah 4 s.
c). gambar grafik $ v $ terhadap $ t $.
Penyelesaian :
Diketahui : $ v_0 = 0 $
Ditanya :
a). $ a = ... ? $
b). $ v_t = ... ? \, $ saat $ t = 4 \, $ s.
c). grafik $ v $ terhadap $ t $.
Jawab :
a). saat $ t = 12 \, s , \, v_t = 60 \, m/s $
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ 60 & = 0 + a \times 12 \\ 60 & = 12a \\ a & = \frac{60}{12} = 5 \, m/s^2 \end{align} $
Jadi, percepatan sepeda motor susi adalah 5 m/s$^2$.

b). Berapa kecepatan setelah 4 s
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ & = 0 + 5 \times 4 \\ & = 0 + 20 \\ & = 20 \, m/s \end{align} $
Jadi, kecepatan saat $ t = 4 \, $ s adalah 20 m/s.

c). grafik $ v $ terhadap $ t $

Berikut adalah gambar grafik pada gerak lurus berubah beraturan (GLBB) :
i). Grafik kecepatan gerak GLBB dapat digambar dari hasil eksperimen gerak jatuh yang direkam pada kertas ketik (dengan tanda titik).

ii). Grafik $ v - t $ :

iii). Grafik $ a - t $ :

iv). Grafik $ s - t $ :

       Demikian pembahasan materi Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Gerak Melingkar.

Gerak Lurus Beraturan (GLB)

         Blog KoFi - Pada artikel ini kita akan membahas materi Gerak Lurus Beraturan (GLB)  yang merupakan bagian dari materi "kinematika gerak".Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita menemukan peristiwa yang berkaitan dengan gerak lurus beraturan, misalnya orang yang berjalan dengan langkah kaki yang relatif konstan, mobil yang sedang bergerak, dan sebagainya.

         Gerak lurus beraturan (GLB) adalah gerak suatu benda dengan kecepatan tetap. Gerak Lurus Beraturan atau GLB sering didefinisikan sebagai gerak suatu benda pada lintasan lurus dengan kecepatan tetap. Hal ini di perbolehkan karena kecepatan tetap memiliki arti besar maupun arahnya tetap, sehingga kata kecepatan boleh diganti dengan kata kelajuan. Contoh GLB yang mudah Kita temui adalah gerak kereta yang sedang melaju pada lintasan yang lurus dan datar.

         Grafik hubungan antara jarak dan waktu berupa garis lurus dengan kemiringan tertentu. Kemiringan garis (gradien garis) menyatakan kelajuan gerak benda. Pada artikel tentang vektor, kalian telah mengetahui cara mencari gradien sebuah garis.

Dari grafik diatas, kita dapat mencari rumus kelajuan dalam selang waktu $t_0$ sampai $t_1$, sebagai berikut.
       $\begin{align} v = \frac{s_1-s_0}{t_1-t_0} \end{align} $
Sedangkan untuk selang waktu dari $t_0$ sampai $t$, kecepatan dirumuskan:
       $\begin{align} v = \frac{s_t-s_0}{t-t_0} \end{align} $
dengan $s_t - s_0 = \Delta s$ dan $t - t_0 = \Delta t , \, t_0 = 0$, maka :
       $\begin{align} v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \end{align} $
Keterangan:
$v = \, $kelajuan (m/s)
$s_0 = \, $ jarak pada saat $t = 0 s \, $ (m)
$s_1 = \, $ jarak setelah menempuh waktu 1 s (m)
$s_t = \, $ jarak setelah menempuh waktu $t$ s (m)
$t = \, $ waktu (s)

Selain grafik hubungan antara jarak dan waktu, kita juga mendapatkan grafik hubungan antara kelajuan ($v$) dengan waktu ($t$) seperti gambar berikut:

Dari gambar tersebut, tampak bahwa grafik hubungan kelajuan dengan waktu berupa garis lurus mendatar. Dari grafik tersebut, kita dapat melihat bahwa kelajuan pada setiap saat adalah sama atau konstan. Sementara itu, jarak pada selang waktu tertentu ditunjukkan oleh luas daerah yang diarsir.
$ \begin{align} s = v(t - t_0) \end{align} $
Untuk $t_0 = 0$, maka: $ \begin{align} s = vt \end{align} $

Untuk mencari jarak akhir ($s_t$), kita dapat menggunakan persamaan:
$ \begin{align} s_t = s_0 + vt \end{align} $

Contoh soal gerak lurus beraturan (GLB) :

1). Icha berlari pada lintasan lurus dan menempuh jarak 100 m dalam 10 sekon. Tentukan kecepatan dan waktu yang diperlukan Icha untuk menempuh jarak 25 m!
Penyelesaian :
Diketahui : $\Delta s = 100 \, $ m dan $ \Delta t = 10 \, $ s
Ditanyakan :
a. $ v = ...? $
b. $t = ...? $ (jika $\Delta s = 25 \, $ m)
Jawab:
a). Kecepatan Icha :
$\begin{align} v & = \frac{\Delta s}{\Delta t} \\ & = \frac{100}{10} \\ & = 10 \, \, m/s \end{align} $
b). Waktu untuk menempuh jarak 25 m :
$\begin{align} v & = \frac{\Delta s}{\Delta t} \\ \Delta t & = \frac{\Delta s}{v} \\ & = \frac{25}{10} \\ & = 2,5 \, \, s \end{align} $

2). Sebuah kereta cepat berada 2 km dari stasiun. Kereta tersebut bergerak meninggalkan stasiun dengan kelajuan tetap 80 km/jam. Pada jarak berapakah kereta itu dilihat dari stasiun setelah 15 menit?
Penyelesaian :
Diketahui :
$ v = 80 \, $ km/jam, $ s_0 = 2 \, $ km, $ t = 15 \, $ menit = 0,25 jam.
Ditanya : $ s_t$
Jawab :
$ \begin{align} s_t & = s_0 + vt \\ & = 2 + 80 \times 0,25 \\ & = 2 + 20 \\ & = 22 \, \, \text{km} \end{align} $
Jadi, setelah 15 menit, kereta berada 22 km dari stasiun.

3). Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 72 km/jam. Pada jarak 18 km dari arah yang berlawanan, sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 90 km/jam. Kapan dan di manakah kedua mobil tersebut akan berpapasan?
Penyelesaian:
*). Ilustrasi gambar.

*). Mengubah kecepatan :
$ v_1 = 72 \, km/jam = \frac{72.000 \, m}{jam} \times \frac{1 \, jam}{3.600 \, s} = 20 \, m/s $
$ v_2 = 90 \, km/jam = \frac{90.000 \, m}{jam} \times \frac{1 \, jam}{3.600 \, s} = 25 \, m/s $
Jarak kedua mobil = PQ = 18 km = 18.000 m
*). Misal, titik R merupakan titik di mana kedua mobil tersebut berpapasan,
maka: PQ = PR + QR
Dengan:
PR = jarak tempuh mobil 1 = $ v_1t$
QR = jarak tempuh mobil 2 = $ v_2t$
*). Menentukan $ t $ :
$\begin{align} PQ & = PR + QR \\ 18.000 & = v_1t + v_2t \\ 18.000 & = 20t + 25t \\ 18.000 & = 45t \\ t & = \frac{18.000}{45} \\ t & = 400 \, \, s \end{align} $
Sehingga :
$ PR = v_1t = 20t = 20 \times 400 = 8000 \, m = 8 \, $ km.
$ QR = v_2t = 25t = 25 \times 400 = 10.000 \, m = 10 \, $ km.
Jadi, kedua mobil tersebut berpapasan setelah 400 s bergerak, dan setelah mobil pertama menempuh jarak 8 km atau setelah mobil kedua menempuh jarak 10 km.

4). Mobil A bergerak dengan kecepatan tetap 72 km/jam di depan mobil B sejauh 1,5 km. Mobil B sedang mengejar mobil A tersebut dengan kecepatan tetap 75 km/jam.
a. Berapakah waktu yang dibutuhkan mobil B untuk mengejar mobil A?
b. Berapa jarak yang ditempuh mobil B?
Penyelesaian :
*). Gerak mobil A dan B merupakan gerak GLB dan dapat digambarkan seperti pada Gambar berikut.

Diketahui : $ v_A = 72 \, km/jam, \, v_B = 75 \, km/jam , \, S_{AB} = 1,5 \, km $
*). hubungan $S_A$ dan $S_B$ sebagai berikut.
$ \begin{align} S_B & = S_A + 1,5 \\ v_B.t & = v_A.t + 1,5 \\ 75t & = 72t + 1,5 \\ 75t - 72t & = 1,5 \\ 3t & = 1,5 \\ t & = \frac{1,5}{3} = 0,5 \, \, \text{jam} \end{align} $
Artinya Mobil B menyusul mobil A setelah $ t = 0,5 \, $ jam dan jarak tempuh mobil B:
$ S_B = v_B.t = 75 \times 0,5 = 3,75 \, $ km.
Jadi, waktu yang dibutuhkan mobil B untuk mengejar mobil A adalah 0,5 jam dan jarak yang ditempuh mobil B adalah 3,75 km.

5). Gambar berikut menunjukan grafi ($v - t$) sebuah benda yang bergerak lurus beraturan.

a). Berapakah besar kecepatan benda!
b). Berapakah besarnya perpindahan benda setelah bergerak 5 s!
Jawab :
a). Grafik memetong sumbu-Y pada titik 12, sehingga kecepatan benda 12 m/s.
b). Perpindahan benda :
$ \begin{align} \text{Perpindahan benda } & = \text{ luas bidang irisan} \\ s & = vt \\ & = (12 \, m/s) \times 5 \, s \\ & = 60 \, m \end{align} $
Jadi, besarnya perpindahan benda setelah bergerak 5 s adalah 60 m.

       Demikian pembahasan materi Gerak Lurus Beraturan (GLB) dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Gerak Lurus Berubah Beraturan.

Percepatan dan Perlajuan

         Blog KoFi - Artikel pendukung materi "kinematika gerak" berikut ini tentang Percepatan dan Perlajuan, selain artikel lainnya yang sudah kita bahas yaitu "jarak dan perpindahan" dan "kecepatan dan kelajuan". Tiap benda yang mengalami perubahan kecepatan, baik besarnya saja atau arahnya saja atau kedua-duanya, akan mengalami percepatan. Tiap benda yang bergerak dengan kecepatan berubah (bertambah atau berkurang) disebut mengalami percepatan. Untuk melakukan perubahan kecepatan, benda yang bergerak memerlukan waktu. Percepatan merupakan besaran vektor. Percepatan berharga positif jika kecepatan suatu benda bertambah dalam selang waktu tertentu. Percepatan berharga negatif jika kecepatan suatu benda berkurang dalam selang waktu tertentu.

         Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan tiap satuan waktu. Percepatan rata-rata secara matematis ditulis sebagai berikut.

Keterangan :
$ \overline{a} = \, $ percepatan rata-rata (m/s$^2$)
$ \Delta v = \, $ perubahan kecepatan (m/s)
$ \Delta t = \, $ selang waktu (s)
$ v_1 = \, $ kecepatan awal (m/s)
$ v_2 = \, $ kecepatan akhir (m/s)
$ t_1 = \, $ waktu awal (s)
$ t_2 = \, $ waktu akhir (s)

Contoh: Andi mengendarai sepeda motor ke arah utara dipercepat dari keadaan diam sampai kecepatan 72 km/jam dalam waktu 5 s. Tentukan besar dan arah percepatan Andi!
Diketahui :
$ v_1 = 0 \, $ m/s
$ v_2 = 72 \, \, km/jam \, \, = 20 \, \, m/s $
$ t_1 = 0 \, $ s
$ t_2 = 5 \, $ s
Ditanyakan :
a. $ \overline{a} = ....? $
b. Arah percepatan?
Jawab :
a). Percepatan rata-rata
$ \begin{align} \overline{a} & = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \\ & = \frac{20 - 0}{5 - 0} \\ & = \frac{20}{5} \\ & = +4 \, \, \, m/s^2 \end{align} $
b. Tanda positif menunjukkan bahwa arah percepatan searah dengan arah kecepatan. Jadi, arah percepatan Andi ke utara.

Percepatan sesaat adalah perubahan kecepatan yang berlangsung dalam waktu singkat. Seperti halnya menghitung kecepatan sesaat, untuk menghitung percepatan sesaat, Kita perlu mengukur perubahan kecepatan dalam selang waktu yang singkat (mendekati nol). Secara matematis dapat ditulis:
       $ \begin{align} \vec{a} = \frac{\vec{\Delta v}}{\Delta t} \end{align} $
jika $\Delta t$ mendekati nol maka $ \vec{a} $ dinamakan percepatan sesaat.

Contoh:
Sebuah mobil balap bergerak dalam lintasan lurus dan dinyatakan dalam persamaan $v(t) = 10 - 8t + 6t^2$, dengan $t$ dalam s dan $v$ dalam m/s. Tentukan percepatan mobil balap tersebut pada saat $t = 3$ s!
Jawab:
Persamaan kedudukan $v(t) = 10 - 8t + 6t^2$
Untuk $t = 3 \rightarrow v(3) = 10 - 8(3) + 6(3)^2 = 40 \, $ m/s
Ambil 3 selang waktu ($\Delta t$) yang berbeda,
misalkan $\Delta t_1 = 0,1 s, \, \Delta t_2 = 0,01 s, \, $ dan $\Delta t_3 = 0,001 s$.

*). Untuk $\Delta t = 0,1 s $
$ \begin{align} t_2 & = t_1 + \Delta t \\ & = 3 + 0,1 = 3,1 \, s \\ v_2 & = v(3,1) = 10 - 8(3,1) + 6(3,1)^2 = 42,86 \, m/s \\ \vec{a} & = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \\ & = \frac{42,86 - 40}{3,1 - 3} = 28,6 \, m/s^2 \end{align} $
*). Untuk $\Delta t = 0,01 s $
$ \begin{align} t_2 & = t_1 + \Delta t \\ & = 3 + 0,01 = 3,01 \, s \\ v_2 & = v(3,1) = 10 - 8(3,01) + 6(3,01)^2 = 42,2806 \, m/s \\ \vec{a} & = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \\ & = \frac{42,2806 - 40}{3,01 - 3} = 28,06 \, m/s^2 \end{align} $
*). Untuk $\Delta t = 0,001 s $
$ \begin{align} t_2 & = t_1 + \Delta t \\ & = 3 + 0,001 = 3,001 \, s \\ v_2 & = v(3,1) = 10 - 8(3,001) + 6(3,001)^2 = 42,028006 \, m/s \\ \vec{a} & = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \\ & = \frac{42,028006 - 40}{3,001 - 3} = 28,006 \, m/s^2 \end{align} $

Kemudian Kita buat tabel seperti berikut.

Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa untuk nilai $\Delta t$ yang makin kecil (mendekati nol), percepatan rata-rata makin mendekati nilai 28 m/s$^2$. Oleh karena itu, dapat Kits simpulkan bahwa percepatan sesaat pada saat $t = 3 $ s adalah 28 m/s$^2$.

       Perlajuan merupakan nilai atau harga dari percepatan. Dimana, percepatan merupakan besaran vektor, sedangkan perlajuan merupakan besaran skalar.

       Demikian pembahasan materi Percepatan dan Perlajuan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan gerak lurus beraturan.

Kelajuan dan Kecepatan

         Blog KoFi - Pada artikel ini kita akan membahas materi Kelajuan dan Kecepatan yang merupakan kelanjutan dari materi "jarak dan perpindahan" guna mendukung materi "kinematika gerak". Pada kehidupan sehari-hari orang sering menggunakan kata kecepatan meskipun yang dimaksud sebenarnya adalah kelajuan. Misalnya, kereta itu bergerak dengan kecepatan 80 km/jam. Pernyataan ini sebenarnya kurang tepat, karena kalau ingin menyatakan kecepatan, arahnya harus disebutkan. Supaya benar pernyataan tersebut harus diubah menjadi kereta itu bergerak dengan kecepatan 80 km/jam ke arah barat. Pada fisika, kelajuan dan kecepatan merupakan dua istilah yang berbeda. Kelajuan dapat ditentukan dengan cara membagi jarak yang ditempuh dengan waktu tempuhnya. Kelajuan selalu bernilai positif. Sedangkan Kecepatan merupakan perbandingan antara perpindahan dengan waktu tempuh. Kecepatan juga dapat didefinisikan sebagai kelajuan yang berarah. Kecepatan dapat bernilai positif atau negatif. Kelajuan diukur menggunakan spidometer, sedangkan kecepatan diukur menggunakan velocitometer.

         Suatu benda yang bergerak dalam selang waktu tertentu dan dalam geraknya tidak pernah berhenti meskipun sesaat, biasanya benda tersebut tidak selalu bergerak dengan kelajuan tetap. Sehingga, dalam kelajuan dan kecepatan, terdapat kelajuan rata-rata, kelajuan sesaat, kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Serta juga percepatan dan perlajuan. Bagaimanakah cara membedakan semua itu? Simak uraian ini dengan seksama.

Kelajuan rata-rata didefinisikan sebagai hasil bagi jarak total yang ditempuh dengan waktu tempuhnya.
Kelajuan rata-rata = $ \frac{\text{Jarak total}}{\text{waktu tempuh}} $
atau

keterangan :
$ s \, $ = jarak total (m)
$ t \, $ = waktu tempuh (s)
$ v \, $ = kelajuan rata-rata (m/s)

Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai hasil bagi perpindahan dengan selang waktu. Kecepatan rata-rata secara matematis ditulis:
         $ \begin{align} \vec{v} = \frac{\vec{\Delta s}}{\Delta t} = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} \end{align} $
Keterangan :
$ \vec{v} = \, $ kecepatan rata-rata (m/s)
$ \vec{\Delta s} = \, $ perpindahan (m)
$ s_1 = \, $ posisi awal (m)
$ s_2 = \, $ posisi akhir (m) secara vektor (perpindahan)
$ t_1 = \, $ waktu awal (s)
$ t_2 = \, $ waktu akhir (s)
$ \Delta t = \, $ selang waktu (s).

Kelajuan sesaat adalah kelajuan rata-rata yang waktu tempuhnya mendekati nol. Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata yang selang waktunya mendekati nol. Dari persamaan di atas dapat diperoleh:
         $ \begin{align} \vec{v} = \frac{\vec{\Delta s}}{\Delta t} \end{align} $
$v$ disebut kelajuan atau kecepatan sesaat jika $\Delta t $ mendekati nol. Kelajuan atau kecepatan sesaat didefinisikan juga sebagai kelajuan atau kecepatan benda pada saat tertentu.

Contoh soal kelajuan dan kecepatan :

1). Wulan berangkat ke sekolah dari rumahnya (titik A) yang berjarak 20 km dengan menggunakan sebuah sepeda motor. Saat melewati jalan lurus, Wulan meningkatkan kelajuan sepeda motornya sampai kelajuan tertentu dan mempertahankannya. Ketika melewati tikungan (titik B dan C), Wulan mengurangi kelajuan sepeda motornya dan kemudian meningkatkannya kembali. Menjelang tiba di sekolah (titik D), Wulan memperlambat kelajuannya sampai berhenti. Setelah sampai di sekolah yang ditempuh dalam waktu 1 jam, Wulan menyadari bahwa angka pada spidometernya telah bertambah sebesar 30 Km. Hal ini menunjukkan jarak yang ditempuh Wulan ke sekolah sebesar 30 km. perhatikan ilustrasi gambarnya di bawah ini.

Berdasarkan Gambar pada soal nomor 1 di atas dan ilustrasi pada uraian di atas, tentukan kelajuan rata-rata dan kecepatan rata-rata Wulan!

Jawab :
*). Kelajuan rata-rata Wulan :
$ \begin{align} \text{Kelajuan rata-rata } & = \frac{\text{Jarak total}}{\text{waktu tempuh}} \\ v & = \frac{5 + 20 + 5}{1} \\ & = \frac{30}{1} \\ & = 30 \, km/jam \end{align} $
Jadi, kelajuan rata-rata Wulan adalah 30 km/jam.
*). Kecepatan rata-rata Wulan :
$ \begin{align} \text{Kecepatan rata-rata } & = \frac{\text{Jarak total}}{\text{waktu tempuh}} \\ \vec{v} & = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} \\ & = \frac{20 - 0}{1 - 0} \\ & = \frac{20}{1} \\ & = 20 \, km/jam \end{align} $
Jadi, kecepatan rata-rata Wulan adalah 20 km/jam.

2). Kedudukan sebuah mobil yang sedang bergerak dinyatakan oleh persamaan $s(t) = 2t^2 + 2t - 2$, dengan $s$ dalam meter dan $t$ dalam sekon. Hitunglah kecepatan mobil pada saat t = 1 sekon!
Jawab:
Persamaan kedudukan : $ s(t) = 2t^2 + 2t - 2 $
Untuk $ t = 1 \rightarrow s1 = 2 (1)^2 + 2 (1) - 2 = 2 $
Ambil 3 selang waktu ($\Delta t$) yang berbeda,
misalkan $\Delta t_1 = 0,1 s, \, \Delta t_2 = 0,01 s, \, $ dan $\Delta t_3 = 0,001 s$.
*). Untuk $\Delta t = 0,1 s $
$ \begin{align} t_2 & = t_1 + \Delta t \\ & = 1 + 0,1 = 1,1 \, s \\ s_2 & = s(1,1) = 2(1,1)^2 + 2(1,1) - 2 = 2,62 \, m \\ \vec{v} & = \frac{\vec{\Delta s}}{\Delta t} = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} \\ & = \frac{2,62 - 2}{1,1 - 1} = \frac{0,62}{0,1} = 6,2 \, m/s \end{align} $
*). Untuk $\Delta t = 0,01 s $
$ \begin{align} t_2 & = t_1 + \Delta t \\ & = 1 + 0,01 = 1,01 \, s \\ s_2 & = s(1,01) = 2(1,01)^2 + 2(1,01) - 2 = 2,0602 \, m \\ \vec{v} & = \frac{\vec{\Delta s}}{\Delta t} = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} \\ & = \frac{2,0602 - 2}{1,01 - 1} = \frac{0,0602}{0,01} = 6,02 \, m/s \end{align} $
*). Untuk $\Delta t = 0,001 s $
$ \begin{align} t_2 & = t_1 + \Delta t \\ & = 1 + 0,001 = 1,001 \, s \\ s_2 & = s(1,001) = 2(1,001)^2 + 2(1,001) - 2 = 2,006002 \, m \\ \vec{v} & = \frac{\vec{\Delta s}}{\Delta t} = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} \\ & = \frac{2,006002 - 2}{1,001 - 1} = \frac{0,006002}{0,001} = 6,002 \, m/s \end{align} $
*). Kemudian Kita buat tabel seperti berikut.

Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa untuk nilai $\Delta t $ yang makin kecil (mendekati nol), kecepatan rata-rata makin mendekati nilai 6 m/s. Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa kecepatan sesaat pada saat t = 1 s adalah 6 m/s.

       Demikian pembahasan materi Kelajuan dan Kecepatan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan percepatan dan perlajuan.

Jarak dan Perpindahan

         Blog KoFi - Sebelum kita mempelajari submateri "kinematika gerak", kita akan pelajari dulu materi pendukungnya yaitu yang pertama tentang Jarak dan Perpindahan. Pada fisika, jarak dan perpindahan mempunyai pengertian yang berbeda. Jarak adalah panjang lintasan sesungguhnya yang ditempuh oleh suatu benda dalam waktu tertentu. Jarak merupakan besaran skalar. Sedangkan Perpindahan adalah perubahan kedudukan suatu benda karena perubahan waktu. Perpindahan merupakan besaran vektor. Untuk memudahkan perhatikan.

contoh berikut ini:
Perhatikan gambar di berikut ini,Ida berlari mengelilingilapangan sepakbola yang memiliki panjang 100 m dan lebar 50 m. Ida berangkat dari titik A dan berhenti di titik C dengan melewati titik B. Sementara itu, Adi berlari dari titik A dan berhenti di titik D dengan melewati titik B dan C, pada lapangan yang sama. Tentukan jarak dan perpindahan yang ditempuh Ida dan Adi!

Jawab:
a. Untuk Ida
*). Jarak yang ditempuh Ida

Jarak = AB + BC = 100 + 50 = 150 m
Jadi, jarak yang ditempuh Ida adalah 150 m.

*). Perpindahan Ida
Karena lintasan yang ditempuh Ida berbentuk garis yang saling tegak lurus, maka perpindahannya adalah sebagai berikut:

$ \begin{align} \text{perpindahan Ida } & = \sqrt{AB^2 + BC^2 } \\ & = \sqrt{ 100^2 + 50^2} \\ & = \sqrt{ 10000 + 2500} \\ & = \sqrt{ 12500} \\ & = 111,8 \, \, \, \text{m} \end{align} $
Jadi, perpindahan yang dialami Ida adalah 111,8 m .

b. Untuk Adi
*). Jarak yang ditempuh Adi

Jarak = AB + BC + CD = 100 + 50 + 100 = 250 m
Jadi, jarak yang ditempuh Adi adalah 250 m.

*). Perpindahan Adi

Ingat, perpindahan merupakan besaran vektor (memiliki arah). Jika AB Anda nyatakan positif, maka CD bernilai negatif. Oleh karena itu, perpindahan yang dialami Adi adalah sebagai berikut.
$ \begin{align} \text{Perpindahan Adi } & = AD = (AB +BC) - CD \\ & = (100 + 50) - 100 \\ & = 150 - 100 \\ & = 50 \, \, \, \text{m} \end{align} $
Jadi, perpindahan yang dialami Adi adalah 50 m.

       Demikian pembahasan materi Jarak dan Perpindahan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan kelajuan dan kecepatan.

Kinematika Gerak pada Fisika

         Blog KoFi - Pada artikel ini kita akan membahas materi Kinematika Gerak pada Fisika secara umum termasuk cakupan sub-materi yang akan dipelajari. Gerak merupakan perubahan posisi (kedudukan) suatu benda terhadap sebuah acuan tertentu. Perubahan letak benda dilihat dengan membandingkan letak benda tersebut terhadap suatu titik yang diangggap tidak bergerak (titik acuan), sehingga gerak memiliki pengertian yang relatif atau nisbi.

         Suatu benda dikatakan bergerak apabila kedudukannya berubah terhadap acuan tertentu. Misalnya sebuah mobil yang bergerak pada lintasan yang licin dengan kecepatan tertentu. Anda dapat menentukan seberapa cepat mobil tersebut melaju dan seberapa jauh jarak yang dapat ditempuh dalam selang waktu tertentu.

         Studi mengenai gerak benda, konsep-konsep gaya, dan energi yang berhubungan, membentuk suatu bidang, yang disebut mekanika. Mekanika dibagi menjadi dua bagian, yaitu kinematika dan dinamika. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak benda tanpa meninjau gaya penyebabnya. Adapun dalam dinamika mempelajari tentang gerak dan gaya penyebabnya.

         Di antara macam-macam gerakan benda terdapat dua gerak yaitu gerak translasi dan gerak rotasi. Gerak translasi adalah gerakan yang berhubungan dengan berpindahnya suatu benda dari suatu tempat menuju ke tempat lain, di mana setiap partikel dalam benda dalam selang waktu yang sama menempuh jarak yang sama, sedangkan Gerak rotasi (gerak putar) adalah gerakan suatu benda dimana setiap titik pada benda tersebut mempunyai jarak yang tetap terhadap suatu sumbu tertentu. Pada umumnya gerakan suatu benda adalah campuran daripada gerak translasi dan rotasi. Misalnya sembarang benda yang dilemparkan akan terlihat bahwa di samping ia berpindah dari suatu tempat menuju ke tempat yang lain, maka ia juga akan berputar.

         Jika benda yang ditinjau mempunyai ukuran yang jauh lebih kecil daripada lintasannya, maka gerakannya dapat dianggap translasi saja, dan benda seperti ini dalam mekanika disebut titik materi atau partikel. Bagian mekanika yang mempelajari gerakan titik materi/partikel tanpa memperhatikan penyebabnya disebut kinematika partikel.

         Berdasarkan lintasan yang dibuatnya, partikel yang bergerak dapat berupa garis lurus, lingkaran atau garis lengkung. Maka dari itu, artikel ini menyajikan pokok bahasan mengenai:
*). Gerak Lurus Beraturan
*). Gerak Lurus Berubah Beraturan
*). Gerak Melingkar, 
*). Gerak Vertikal ke Bawah, dan
*). Gerak Vertikal ke Atas

         Namun sebelum membahas pokok bahasan tersebut perlu diketahui juga besaran-besaran yang terlibat dalam kinematika gerak, seperti: jarak, perpindahan, kelajuan,  kecepatan, dan percepatan.

       Demikian pembahasan materi Kinematika Gerak pada Fisika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan jarak dan perpindahan.

Perkalian Vektor pada Fisika

         Blog KoFi - Operasi pada vektor terdiri dari operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Pada artikel sebelumnya telah kita bahas operasi penjumlahan dan pengurangan dengan judul "Penjumlahan vektor menggunakan metode grafis dan analitis" dan "Penjumlahan vektor menggunakan metode uraian". Sekarang kita lanjutkan dengan pembahasan materi Perkalian Vektor pada Fisika. Ada tiga jenis perkalian vektor yang akan kita bahas yaitu Perkalian vektor dengan skalar, Perkalian titik (dot product), dan Perkalian silang (cross product). Apakah perbedaan dari ketiga perkalian vektor tersebut? Untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari artikel ini dengan seksama.

Perkalian vektor dengan skalar

       Untuk memahami sifat perkalian vektor dan skalar, perhatikan sebuah sepeda motor yang melaju dengan kecepatan tertentu, seperti tampak pada gambar berikut:

       Misalkan motor bergerak dengan kecepatan 15 m/s ke utara. Setelah beberapa waktu, motor telah mengalami perpindahan. Seperti pada konsep kecepatan yang telah dipelajari pada tingkat SMP. Dimana, kecepatan adalah perpindahan per selang waktu. Dari pengertian kecepatan ini, kita bisa menghitung perpindahan yang dialami motor dengan persamaan:
$ \begin{align} \vec{s} = \vec{v} \times t \end{align} $

       Dari penjelasan sebalumnya, kita tahu bahwa kecepatan merupakan besaran vektor, sedangkan waktu merupakan besaran skalar. Berdasarkan persamaan tersebut, perkalian kecepatan dengan waktu menghasilkan perpindahan yang termasuk besaran vektor. Jadi kesimpulannya, hasil kali antara vektor dengan skalar adalah vektor.

       Perkalian vektor dengan skalar mempunyai arti yang sederhana. Hasil kali suatu skalar $k$ dengan sebuah vektor $\vec{A}$ dituliskan $k\vec{A}$ didefinisikan sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar $k$ dikalikan dengan besar $\vec{A}$ . Sementara arah vektor ini searah vektor $\vec{A}$ jika $k$ positif, dan berlawanan dengan arah vektor $\vec{A}$ jika $k$ negatif.

       Selain dilakukan perkalian dengan skalar, vektor dapat pula dibagi dengan skalar. Bagaimanakah cara membagi vektor dengan skalar? Perhatikan sebuah bus yang bergerak sejauh 500 m ke selatan dalam waktu 20 sekon. Berapakah kecepatan bus tersebut? Seperti kejadian di depan, kita dapat mencari kecepatan bus tersebut dengan rumus kecepatan. Kecepatan bus tersebut adalah 25 m/s ke selatan. Membagi vektor dengan skalar sama dengan mengalikan vektor itu dengan kebalikan skalar tersebut. Untuk lebih mudah diapahami perhatikan contoh soal berikut ini:

Perkalian titik (dot product)

       Selain perkalian vektor dengan skalar, vektor juga dapat dikalikan dengan vektor lain. Salah satunya adalah perkalian titik (dot product). Untuk mendefinisikan perkalian titik, perhatikan gambar berikut:

       Perkalian titik (baca "dot") dua buah vektor (misal $\vec{A}$ ) dengan komponen vektor kedua ( $\vec{B}$ ) pada arah vektor pertama ($\vec{A}$). Pada gambar di atas, komponen vektor pada vektor adalah $\vec{B} \cos \alpha $. Dari definisi perkalian tersebut, perkalian titik antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \begin{align} \vec{A}.\vec{B} = AB \cos \alpha = |\vec{A}||\vec{B}| \cos \alpha \end{align} $
Keterangan:
$\alpha $ = sudut yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dengan $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ $.
|$\vec{A}$| = besar vektor $\vec{A}$.

       Dari definisi perkalian titik tersebut, dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar. Sekarang, bagaimanakah hasil perkalian dari dua buah vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan? Sesuai dengan perkalian titik, maka vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \widehat{i}.\widehat{i} = \widehat{j}.\widehat{j}=\widehat{k}.\widehat{k}=1 $
$ \widehat{i}.\widehat{j} = \widehat{j}.\widehat{k}=\widehat{k}.\widehat{i}=0 $

Kita dapat mencari hasil perkalian titik yang dinyatakan dalam vektor satuan. Kita ambil contoh vektor $\vec{A}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{A} = A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}$ dan vektor $\vec{B}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{B} = B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}$ . Hasil perkalian antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan sebgai berikut:
$ \vec{A} .\vec{B} = (A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}).(B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}) $
$ \vec{A} .\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z $

Contoh soal :
Vektor gaya dan perpindahan mempunyai persamaan $ \vec{F}=(\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) \, $ N dan $ \vec{s}=(3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \, $ m. Tentukan usaha yang dilakukan gaya!

Penyelesaian :
Diketahui :
$ \vec{F}=(\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) \, $ N
$ \vec{s}=(3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \, $ m
Ditanyakan : $ \vec{W} $ ?
Jawab :
Usaha merupakan hasil perkalian titik antara gaya dan perpindahan.
$ \begin{align} \vec{W} & = \vec{F}.\vec{s} \\ & = (\widehat{i} + \widehat{j}+\widehat{k}) . (3\widehat{i} + 4\widehat{j}+6\widehat{k}) \\ & = 1.3 + 1.4 + 1.6 \\ & = 3 + 4 + 6 \\ & = 13 \, \, \, \, \, \text{joule} \end{align} $
Jadi, usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah 13 J.

Perkalian silang (cross product)

       Untuk mendefinisikan perkalian silang, perhatikan gambar berikut ini:

Perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ atau dituliskan $ \vec{A} \times \vec{B}$ didefinisikan sebagai perkalian vektor $\vec{A}$ dengan komponen vektor $\vec{B}$ yang tegak lurus dengan vektor $\vec{A}$ . Berdasarkan gambar di atas, komponen vektor yang tegak lurus dengan vektor $\vec{A}$ adalah $B \sin \alpha $. Dari definisi ini, hasil perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dituliskan dengan persamaan:
$ \vec{A} \times \vec{B} = \vec{C} $
$ \vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \alpha $

       Hasil dari perkalian titik adalah sebuah skalar, sedangkan hasil dari perkalian vektor adalah sebuah vektor lain (misalnya $\vec{C}$ ) yang mempunyai arah tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ . Arah dari $\vec{C}$ dapat digambarkan seperti berikut:

Dari definisi perkalian silang, perkalian silang antara dua vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:
$ \widehat{i} \times \widehat{i} = \widehat{j} \times \widehat{j} = \widehat{k} \times \widehat{k} = 0 $
$ \widehat{i} \times \widehat{j} = \widehat{k} \, \, \, \widehat{j} \times \widehat{k} = \widehat{i} \, \, \, \widehat{k} \times \widehat{i} = \widehat{j} $
$ \widehat{j} \times \widehat{i} = -\widehat{k} \, \, \, \widehat{k} \times \widehat{j} = -\widehat{i} \, \, \, \widehat{i} \times \widehat{k} = -\widehat{j} $

Dari definisi perkalian silang di atas, kita dapat menentukan besar dan arah vektor dari hasil perkalian silang $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ . Kita ambil contoh vektor $\vec{A}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{A} = A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j} + A_z\widehat{k}$ dan vektor $\vec{B}$ yang dinyatakan dengan persamaan $\vec{B} = B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j} + B_z\widehat{k}$ . Hasil $\vec{A} \times \vec{B} $ dapat dicari sebagai berikut:

Contoh soal :

       Demikian pembahasan materi Perkalian Vektor pada Fisika dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "vektor" pada artikel terkait di bawah setiap akhir artikel.

Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Uraian

         Blog KoFi - Sebelumnya kita telah mempelajari artikel "Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Grafis dan Analitis", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Uraian. Dalam beberapa kasus, seringkali kita menjumlahkan beberapa vektor yang lebih dari dua buah. Secara grafis, metode yang digunakan adalah metode poligon, seperti yang telah disinggung sebelumnya. Akan tetapi, bagaimanakah cara menentukan besar dan arah vektor resultannya? Salah satu metode yang digunakan adalah metode uraian, seperti yang akan kita bahas pada beberapa pokok bahasan artikel berikut ini:
*). Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya
*). Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya.

Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya

       Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus. Vektor-vektor baru hasil uraian disebut vektor-vektor komponen. Ketika sebuah vektor telah diuraikan menjadi vektor-vektor komponennya, vektor tersebut dianggap tidak ada karena telah diwakili oleh vektor-vektor komponennya. Sebagai contoh, ketika Anda menguraikan sekarung beras 50 kg menjadi dua karung dengan masing-masing 20 kg dan 30 kg, apakah karung yang berisi 50 kg tetap ada? Perhatikan gambar berikut ini:

Gambar: menguraikan sebuah vektor menjadi dua komponen yang saling tegak lurus

       Gambar di atas memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. A$_x$ adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan A$_y$ adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi $ \sin \theta $ dan $ \cos \theta $ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut:
$ A_x = A \cos \theta \, $ dan $ A_y = A \sin \theta $
Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan:
$ A = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 } $
Selanjutnya, hubungan antara A$_x$ dan A$_y$ diberikan oleh:
$ \tan \theta = \frac{A_y}{A_x} $

Contoh Soal Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya:

1). Sebuah vektor panjangnya 20 cm dan membentuk sudut 30$^\circ$ terhadap sumbu-x positif seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

Tentukanlah komponen-komponen vektor tersebut pada sumbu-x dan sumbu-y.

Jawab:
Menggunakan persamaan di atas, akan diperoleh:
$ A_x = A \cos \theta \, $ dan $ A_y = A \sin \theta $
$ A_x = A \cos 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2}\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \, $ cm
$ A_y = A \sin 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \, $ cm

Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya

       Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian.
Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.
a. Buat koordinat kartesius x-y.
b. Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.
c. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.
d. Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu, misalnya
$\sum R_x $ = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.
$ \sum R_y $ = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.
e. Besar vektor resultannya:
$ \begin{align} R = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \end{align} $
Dan arahnya terhadap sumbu-x positif:
$ \tan \theta = \frac{ \sum R_y}{ \sum R_x} $

Contoh Soal Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya (metode uraian) :

2). Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya $F_1$ = 10 N, $F_2$ = 30 N, dan $F_3$ = 20 N. Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah resultan ketiga vektor tersebut (besar dan arahnya).

Jawab :
Uraian setiap vektor pada sumbu-x dan sumbu-y, seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Besar komponen-komponen setiap vektornya:
$ F_{1x} = F_1 \cos 37^\circ = 10 \times 0,8 = 8 \, $ N
$ F_{1y} = F_1 \sin 37^\circ = 10 \times 0,6 = 6 \, $ N
$ F_{2x} = F_2 \cos 53^\circ = 30 \times 0,6 = 18 \, $ N
$ F_{2y} = F_2 \sin 53^\circ = 30 \times 0,8 = 24 \, $ N
$ F_{3y} = F_3 \cos 37^\circ = 20 \times 0,8 = 16 \, $ N
$ F_{3x} = F_3 \sin 37^\circ = 20 \times 0,6 = 12 \, $ N
Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:
$ \sum R_x = F_{1x} - F_{2x} - F_{3x} = 8 - 18 - 12 = -22 \, $ N
$ \sum R_y = F_{1y} + F_{2y} - F_{3y} = 6 + 24 - 16 = 14 \, $ N
Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut:
$ \begin{align} R & = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \left( -22 \right)^2 + \left( 14 \right)^2 } \\ & = \sqrt{ 484 + 196 } \\ & = \sqrt{ 680 } \\ & = 26,1 \, \, \, \text{N} \end{align} $
Dan arahnya terhadap sumbu-x positif:
$ \tan \theta = \frac{ \sum R_y}{ \sum R_x} = \frac{14}{-22} = -0,64 \rightarrow \theta = 212,5 ^\circ $

3). Tiga vektor masing-masing $F_1$ = 10 N, $F_2$ = 16 N, dan $F_3$ = 12 N, disusun seperti pada gambar. (Soal UAN 2004:)

Jika $ \alpha = 37^\circ $, besar resultan ketiga vektor adalah ....
a. 5 N b. 8 N c. 10 N d. 12 N e. 18 N

Penyelesaian Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 16 N,dan F3 = 12 N.
Besar komponen pada sumbu-x :
$ F_{1x} = F1 \cos \alpha = 10 \cos 37^\circ = 8 \, $ N
$ F_{2x} = 16 \, $ N
$ F_{3x} = 0 \, $ N
Besar komponen pada sumbu-y :
$ F_{1y} = F1 \sin \alpha = 10 \sin 37^\circ = 6 \, $ N
$ F_{2y} = 0 \, $ N
$ F_{3y} = 12 \, $ N
Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:
$ \sum R_x = F_{1x} - F_{2x} + F_{3x} = 8 - 16 + 0 = -8 \, $ N
$ \sum R_y = F_{1y} + F_{2y} - F_{3y} = 6 + 0 - 12 = -6 \, $ N
Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut:
$ \begin{align} R & = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \left( -8 \right)^2 + \left( -6 \right)^2 } \\ & = \sqrt{ 64 + 36 } \\ & = \sqrt{ 100 } \\ & = 10 \, \, \, \text{N} \end{align} $
Jadi, jawabannya: C

4). Ditentukan dua buah vektor yang sama besarnya, yaitu F. Bila perbandingan antara besar jumlah dan selisih kedua vektor sama dengan $\sqrt{3}$ maka sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah .... (Soal SPMB 2002:)
a. 30$^\circ \, $ d. 60$^\circ \, $
b. 37$^\circ \, $ e. 120$^\circ \, $
c. 45$^\circ \, $

Penyelesaian:
Diketahui dua buah vektor besarnya = F
Besar jumlah vektor adalah:
$ R_1 = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F.F. \cos \theta } = \sqrt{2F^2 + 2F^2. \cos \theta } $
Besar selisih kedua vektor adalah:
$ R_1 = \sqrt{F^2 + F^2 - 2F.F. \cos \theta } = \sqrt{2F^2 - 2F^2. \cos \theta }$
Jika perbandingan nilai R1 dan R2 adalah $\sqrt{3}$ maka sudut $\theta $ dapat dihitung sebagai berikut:
$ \begin{align} \frac{R_1}{R_2} & = \sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{2F^2 + 2F^2. \cos \theta }}{\sqrt{2F^2 - 2F^2. \cos \theta }} & = \sqrt{3} \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta }{ 2F^2 - 2F^2. \cos \theta } & = 3 \\ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta & = 3 (2F^2 - 2F^2. \cos \theta ) \\ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta & = 6F^2 - 6F^2. \cos \theta \\ 2F^2. \cos \theta + 6F^2. \cos \theta & = 6F^2 - 2 F^2 \\ 8F^2. \cos \theta & = 4F^2 \\ \cos \theta & = \frac{4F^2}{8F^2} \\ \cos \theta & = \frac{1}{2} \\ \theta & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, jawabannya: D.

       Demikian pembahasan materi Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Uraian dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan perkalian vektor.