Analogi dengan gerak jatuh bebas, pada gerak vertikal ke atas berlaku persamaan sebagai berikut:
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \vec{v_t} & = \vec{v_0} - gt \\ \vec{v_t^2} & = \vec{v_0^2} - 2g.h_t \\ h_t & = \vec{v_0}. t - \frac{1}{2}g.t^2 \end{align} $
Keterangan :
$ \vec{v_t} = \, $ kecepatan benda saat $ t \, $ s (m/s)
$ \vec{v_0} = \, $ kecepatan awal benda (m/s)
$ g = \, $ percepatan gravitasi (m/s$^2$)
$h_t = \, $ ketinggian benda pada saat $t \, s $ (m)
$ t = \, $ waktu jatuh (s)
Berbeda dengan gerak vertikal ke bawah atau gerak jatuh bebas, pada gerak vertikal ke atas (GVA) $h_t$ menyatakan ketinggian benda yang dicapai setelah $t$ sekon, $h_t$ pada persamaan ini adalah selisih posisi akhir dan posisi awal benda, yang dituliskan:
$ h_t = y_t - y_0 $
Dengan demikian, posisi benda saat $t$ dapat dicari dengan persamaan:
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, h_t & = \vec{v_0}. t - \frac{1}{2}g.t^2 \\ y_t - y_0 & = \vec{v_0}. t - \frac{1}{2}g.t^2 \\ y_t & = y_0 + \vec{v_0}. t - \frac{1}{2}g.t^2 \end{align} $
Sementara itu, tinggi maksimum dapat kita hitung ketika suatu bola atau benda yang kecepatannya sama dengan nol ($v_t = 0$) pada titik tertinggi. Dengan menggunakan persamaan: $ \vec{v_t^2} = \vec{v_0^2} - 2g.h_t $
Ketinggian maksimum yang dicapai benda ($h_{maks}$) dapat dicari menggunakan persamaan:
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \vec{v_t^2} & = \vec{v_0^2} - 2g.h_t \\ 0 & = \vec{v_0^2} - 2g.h_t \\ 2g.h_t & = \vec{v_0^2} \\ h_{maks} & = \frac{\vec{v_0^2}}{2g} \end{align} $
Untuk mengetahui lama benda di udara, kita bisa menentukan berapa lama waktu benda yang dilempar di udara sebelum kembali ke tangan orang yang melemparkannya. Kita bisa melakukan perhitungan ini dalam dua bagian, pertama menentukan waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai titik tertinggi, dan kedua menentukan waktu yang diperlukan untuk jatuh kembali, perhatikan gambar berikut ini:
Bagaimanapun, akan lebih mudah untuk melihat gerak dari A ke B ke C, tampak seperti pada gambar di atas. Kita dapat melakukan perhitungan ini karena y (atau x) menyatakan posisi atau perpindahan, bukan jarak total yang ditempuh. Dengan demikian, pada kedua titik A dan C, posisi benda adalah $ y = 0$. Dengan menggunakan persamaan GLBB dan $a = -g$, diperoleh hal-hal berikut ini.
a. Waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai titik tertinggi:
$\begin{align} v & = v_0 - gt \\ 0 & = v_0 - gt \\ t_B & = t_{maks} = \frac{v_0}{g} \end{align} $
b. Waktu yang diperlukan untuk jatuh kembali
$ \begin{align} h_t & = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \\ 0 & = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \\ \frac{1}{2}gt^2 & = v_0t \\ \frac{1}{2}gt & = v_0 \\ gt & = 2v_0 \\ t_C & = \frac{2v_0}{g} = 2 \times \frac{v_0}{g} \\ \text{atau} & \\ t_C & = 2\times t_{maks} \end{align} $
Contoh Soal Gerak Vertikal ke Atas (GVA) :
1). Sebuah bola kasti dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan 20 m/s. Jika g = 10 m/s$^2$, tentukan:
a. ketinggian dan kecepatannya pada saat t = 1 sekon
b. waktu untuk mencapai tinggi maksimum
c. ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola
d. kecepatan bola pada saat sampai pada posisi semula
Penyelesaian:
Diketahui :
$v_0 = 20 \, m/s, \, g = 10 \, m/s^2$
Ditanya:
a. $h_t$ dan $v_t$ untuk t = 1 sekon = ...?
b. $t_{max} = ...?
c. $h_{max} = ...?
d. $v_t$ saat bola sampai pada posisi semula = ...?
Jawab:
a. ketinggian dan kecepatannya pada saat t = 1 sekon
$ \begin{align} h_t & = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \\ & = 20 \times 1 - \frac{1}{2} . 10 . 1^2 \\ & = 20 - 5 \\ & = 15 \, m \\ v_t & = v_0 - gt \\ & = 20 - 10 . 1 \\ & = 20 - 10 \\ & = 10 \, m/s \end{align} $
b. waktu untuk mencapai tinggi maksimum
$ t_{maks} = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{10} = 2 \, $ sekon
c. ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola
$ h_{maks} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 10} = \frac{400}{20} = 20 \, m $
d. kecepatan bola pada saat sampai pada posisi semula
$ \begin{align} t & = \frac{2v_0}{g} = \frac{2 \times 20}{10} = 4 \, s \\ v_t & = v_0 - gt \\ & = 20 - 10 \times 4 \\ & = 20 - 40 \\ & = -20 \, m/s \end{align} $
artinya kecepatan bola pada saat sampai pada posisi semula adalah 20 m/s, tanda negatif artinya arahnya ke bawah.
2). Sebuah bola dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal 30 m/s. Jika percepatannya adalah 10 m/s$^2$ ke bawah, berapa waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertingginya, dan berapakah jarak ke titik tertinggi itu?
Penyelesaian:
Diketahui:
$v_0 = 30 \, $ m/s , $ a = g = 10 \, $ m/s$^2$
ditanya:
a. $t_{maks} = ...? $
b. $h_{maks} = ...?$
Jawab:
a). $ t_{maks} \, $ dicapai pada saat kecepatan akhir (posisi tertinggi) adalah nol ($ v_t = 0 $).
$ \begin{align} v_t & = v_0 + at \\ 0 & = 30 + (-10)t_{maks} \\ 10t_{maks} & = 30 \\ t_{maks} & = \frac{30}{10} = 3 \, s \end{align} $
b). Menentukan ketinggian maksimum :
$ \begin{align} h_{maks} = \frac{v_)^2}{2g} = \frac{30^2}{2 \times 10} = 45 \, m \end{align} $
3). Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan tertentu. Setelah 2 sekon, bola kembali ke tempat semula. Jika $ g = 10 \, m/s^2$, tentukan :
a). kecepatan awalnya,
b). ketinggian maksimumnya.
Penyelesaian :
Diketahui :
$ t_{naik-turun} = 2 \, $ sekon,
$ g = 10 \, m/s^2 $
Dianyakan :
a). $v_0 = ...?$
b). $ h_{maks} = ...? $
Jawab :
*). Waktu untuk naik sama dengan waktu untuk turun. Jadi waktu untuk mencapai titik tertinggi adalah
$ t = \frac{t_{naik-turun}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, s $.
*). Kecepatan pada titik tertinggi adalah 0 ($v_t = 0$).
a). Untuk mencari kecepatan awal kita menggunakan persamaan :
$ \begin{align} v_t & = v_0 - gt \\ 0 & = v_0 - gt \\ v_0 & = gt \\ & = 10 \times 1 \\ & = 10 \, m/s \end{align} $
Jadi, kecepatan awalnya adalah 10 m/s.
b). Menentukan tinggi maksimum :
$ \begin{align} h_{maks} & = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \\ & = 10 \times 1 - \frac{1}{2} \times 10 \times 1^2 \\ & = 10 - 5 \\ & = 5 \, m \end{align} $
atau bisa menggunakan rumus :
$\begin{align} h_{maks} & = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \times 10} = 5 \, m \end{align} $
Jadi, tinggi maksimum yang dapat dicapai adalah 5 m.
Demikian pembahasan materi Gerak Vertikal ke Atas (GVA) dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan kinematika gerak.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar