Vektor : Penjumlahan Vektor Metode Grafis dan Analitis

         Blog KoFi - Setelah mempelajari materi "definisi, gambar, dan notasi vektor", pada artikel ini kita akan membahas materi Penjumlahan Vektor Metode Grafis dan Analitis yang merupakan salah satu bagian dari operasi pada vektor. Selain Penjumlahan Vektor Metode Grafis dan Analitis, sebenarnya ada juga materi penjumlahan vektor dengan metode uraian yang akan kita bahas pada artikel berikutnya. Penjumlahan vektor metode grafis dan analitis maksudnya penjumlahan vektor yang diilustrasikan dalam bentuk grafik dan akan kita hitung secara matematisnya (hitungan pastinya).

         Penjumlahan vektor tidak sama dengan penjumlahan skalar. Hal ini karena vektor selain memiliki nilai, juga memiliki arah. Vektor yang diperoleh dari hasil penjumlahan beberapa vektor disebut vektor resultan. Berikut ini akan kita dibahas metode-metode untuk menentukan vektor resultan, diantaranya:
*). Resultan dua vektor sejajar
*). Resultan dua vektor yang saling tegak lurus
*). Resultan dua vektor yang mengapit sudut
*). Selisih dua vektor yang mengapit sudut
*). Melukis resultan vektor dengan metode poligon
*). Vektor nol.

Resultan dua vektor sejajar secara Grafis

       Misalnya, Kita bepergian mengelilingi kota Medan dengan mengendarai sepeda motor. Dua jam pertama, kita bergerak lurus ke timur dan menempuh jarak sejauh 50 km. Setelah istirahat secukupnya, kita kembali melanjutkan perjalanan lurus ke timur sejauh 30 km lagi. Di lihat dari posisi asal, kita telah berpindah sejauh sejauh 50 km + 30 km = 80 km ke timur. Dikatakan, resultan perpindahan kita adalah 80 km ke timur. Secara grafis, perpindahan kita seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

       Sedikit berbeda dengan kasus tersebut, misalnya setelah menempuh jarak lurus 50 km ke timur, kita kembali lagi ke barat sejauh 30 km. Relatif terhadap titik asal, perpindahan kita menjadi 50 km - 30 km = 20 km ke timur. Secara grafis, perpindahan kita diperlihatkan pada gambar berikut:

Catatan :
dari kedua grafik di atas, garis panah warna biru adalah hasil akhir dari penjumlahan atau pengurangan kedua vektor.

Resultan dua vektor sejajar secara Analitis

       Dari kedua contoh, seperti yang diperlihatkan pada kedua gambar, menjumlahkan dua buah vektor sejajar mirip dengan menjumlahkan aljabar biasa. Secara matematis, resultan dua buah vektor sejajar, yakni, sebagai berikut. Jika vektor A dan B searah, besar vektor resultan R, adalah:
R = A $ + $ B
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor A dan B. Sebaliknya, jika kedua vektor tersebut berlawanan, besar resultannya adalah:
R = A $ - $ B
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor yang terbesar.

Resultan dua vektor yang saling tegak lurus secara Grafis

       Misalnya, kita memacu kendaraan kita lurus ke timur sejauh 40 km dan kemudian berbelok tegak lurus menuju utara sejauh 30 km. Secara grafis, perpindahan kita seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

Besar resultan perpindahannya, $r$, diperoleh menggunakan Dalil Pythagoras, yakni sebagai berikut:
$ r = \sqrt{ x^2 + y^2 } = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50 \, $ km.
Dan arahnya:
$ \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \rightarrow \theta = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) = 37^\circ $
terhadap sumbu-x positif (atau 37$^\circ$ dari arah timur).

Resultan dua vektor yang saling tegak lurus secara Analitis

       Dari contoh kasus tersebut, jika dua buah vektor, A dan B, yang saling tegak lurus akan menghasilkan vektor resultan, R, yang besarnya:
R = $\sqrt{A^2 + B^2} $
Dan arahnya:
$ \theta = \tan ^{-1} \left( \frac{B}{A} \right) $
terhadap arah vektor A dengan catatan vektor B searah sumbu-y dan vektor A searah sumbu-x.

Resultan dua vektor yang mengapit sudut secara Grafis

       Sekarang tinjau dua buah vektor, A dan B, yang satu sama lain mengapit sudut seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut:

       Gambar vektor resultannya dapat diperoleh dengan cara menempatkan pangkal vektor B di ujung vektor A. Selanjutnya, tarik garis dari titik pangkal vektor A ke titik ujung vektor B dan buatkan panah tepat di ujung yang berimpit dengan ujung vektor B. Vektor inilah, R, resultan dari vektor A dan B. Hasilnya seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

Resultan dua vektor yang mengapit sudut secara Analitis

       Besar vektor resultan, R, dapat ditentukan secara analitis sebagai berikut. Perhatikan gambar di bawah ini:

Vektor C dan D diberikan sebagai alat bantu sehingga vektor A + C tegak lurus vektor D dan ketiganya membentuk resultan yang sama dengan resultan dari vektor A dan B, yaitu R . Dengan menggunakan Dalil Pythagoras, besarnya vektor resultan R adalah:
$ R = \sqrt{(A+C)^2 + D^2 } = \sqrt{A^2 + 2AC + C^2 + D^2 } $
Selanjutnya, juga dengan menggunakan Dalil Pythagoras, dari gambar diperoleh:
$C^2 + D^2 = B^2 $
dan dari trigonometri,
$ \cos \theta = \frac{C}{B} \, $ atau $ C = B \cos \theta $
Dengan memasukkan dua persamaan terakhir ke persamaan pertama, diperoleh besarnya vektor resultan R.
$ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta } $

Selisih dua vektor yang mengapit dua sudut Secara Grafis

       Vektor A dan vektor $-$A, memiliki besar yang sama, yakni $|A| = |-A| = A$, tetapi arahnya berlawanan seperti diperlihatkan pada gambar berikut:

Selisih dari dua buah vektor, misalnya vektor $A - B$, secara grafis sama dengan jumlah antara vektor A dan vektor $-$B, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini:

Selisih dua vektor yang mengapit dua sudut Secara Analitis

       Secara matematis, vektor selisihnya ditulis $R = A - B$. Secara analitis, besar vektor selisihnya ditentukan dari persamaan:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta } $
dengan mengganti $\theta $ dengan $ 180^\circ - \theta $ . Oleh karena, $ \cos ( ) = - \cos \theta $ sehingga diperoleh:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta } $

Melukis resultan vektor dengan metode poligon Secara Grafis dan Analitis

       Jika terdapat tiga buah vektor, A, B, dan C, yang besar dan arahnya berbeda seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini:

resultannya dapat diperoleh dengan cara menggunakan metode poligon, yakni sebagai berikut.
a. Hubungkan titik tangkap vektor B pada ujung vektor A dan titik pangkal vektor C pada ujung vektor B.
b. Buat vektor resultan, R, dengan titik tangkap sama dengan titik pangkal vektor A dan ujung panahnya tepat di titik ujung vektor C.
Hasilnya seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini:

Secara matematis, vektor resultan pada gambar di atas ditulis sebagai berikut:
$R = A + B + C $

Perhatikan juga gambar vektor berikut ini:

Resultan dari gambar di atas dapat ditulis:
$ R = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 + V_5 + V_6 $

Vektor Nol secara Grafis dan Analitis

       Vektor nol adalah vektor hasil penjumlahan beberapa buah vektor yang hasilnya nol. Sebagai contoh, lima buah vektor, A, B, C, D, dan E, menghasilkan resultan sama dengan nol maka secara matematis ditulis:
$ A + B + C + D + E = 0 $
Dengan menggunakan metode poligon, secara grafis vektor-vektor tersebut diperlihatkan seperti pada gambar berikut:

Perhatikan bahwa ujung vektor terakhir (vektor E) bertemu kembali dengan titik pangkal vektor pertama (vektor A).

Contoh Soal :
Dua buah vektor satu sama lain membentuk sudut 60$^\circ$. Besar kedua vektor tersebut sama, yakni 5 satuan. Tentukanlah
a. resultan, dan
b. selisih kedua vektor tersebut.

Penyelesaian :
Misalnya, kedua vektor tersebut adalah A dan B. Besarnya, A = B = 5 dan sudutnya $\theta = 60^\circ$.
a. Resultannya dapat dicari menggunakan persamaan:
$ \begin{align} R & = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta } \\ & = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2. 5 . 5 \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{25 + 25 + 50 . \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{25 + 25 + 25} \\ & = \sqrt{75} \\ & = 5\sqrt{3} \, \, \, \, \, \, \text{(satuan)} \end{align} $
b. Selisih kedua vektor tersebut menggunakan persamaan:
$ \begin{align} R & = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta } \\ & = \sqrt{5^2 + 5^2 - 2. 5 . 5 \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{25 + 25 - 50 . \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{25 + 25 - 25} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(satuan)} \end{align} $

       Demikian pembahasan materi Penjumlahan Vektor Metode Grafis dan Analitis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Penjumlahan vektor menggunakan metode uraian.