*). Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya
*). Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya.
Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya
Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus. Vektor-vektor baru hasil uraian
disebut vektor-vektor komponen. Ketika sebuah vektor telah diuraikan menjadi vektor-vektor komponennya, vektor tersebut dianggap tidak ada karena
telah diwakili oleh vektor-vektor komponennya. Sebagai contoh, ketika Anda menguraikan sekarung beras 50 kg menjadi dua karung dengan masing-masing 20 kg
dan 30 kg, apakah karung yang berisi 50 kg tetap ada? Perhatikan gambar berikut ini:
Gambar di atas memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. A$_x$ adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan A$_y$ adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi $ \sin \theta $ dan $ \cos \theta $ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut:
$ A_x = A \cos \theta \, $ dan $ A_y = A \sin \theta $
Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan:
$ A = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 } $
Selanjutnya, hubungan antara A$_x$ dan A$_y$ diberikan oleh:
$ \tan \theta = \frac{A_y}{A_x} $
Gambar: menguraikan sebuah vektor menjadi dua komponen yang saling tegak lurus
Gambar di atas memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. A$_x$ adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan A$_y$ adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi $ \sin \theta $ dan $ \cos \theta $ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut:
$ A_x = A \cos \theta \, $ dan $ A_y = A \sin \theta $
Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan:
$ A = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 } $
Selanjutnya, hubungan antara A$_x$ dan A$_y$ diberikan oleh:
$ \tan \theta = \frac{A_y}{A_x} $
Contoh Soal Menguraikan vektor menggunakan vektor komponennya:
1). Sebuah vektor panjangnya 20 cm dan membentuk sudut 30$^\circ$ terhadap sumbu-x positif seperti diperlihatkan pada gambar berikut:
Jawab:
Menggunakan persamaan di atas, akan diperoleh:
$ A_x = A \cos \theta \, $ dan $ A_y = A \sin \theta $
$ A_x = A \cos 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2}\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \, $ cm
$ A_y = A \sin 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \, $ cm
Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya
Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x
dan sumbu-y pada koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian.
Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.
a. Buat koordinat kartesius x-y.
b. Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.
c. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.
d. Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu, misalnya
$\sum R_x $ = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.
$ \sum R_y $ = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.
e. Besar vektor resultannya:
$ \begin{align} R = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \end{align} $
Dan arahnya terhadap sumbu-x positif:
$ \tan \theta = \frac{ \sum R_y}{ \sum R_x} $
Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.
a. Buat koordinat kartesius x-y.
b. Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.
c. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.
d. Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu, misalnya
$\sum R_x $ = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.
$ \sum R_y $ = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.
e. Besar vektor resultannya:
$ \begin{align} R = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \end{align} $
Dan arahnya terhadap sumbu-x positif:
$ \tan \theta = \frac{ \sum R_y}{ \sum R_x} $
Contoh Soal Penjumlahan vektor melalui vektor-vektor komponennya (metode uraian) :
2). Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya $F_1$ = 10 N, $F_2$ = 30 N, dan $F_3$ = 20 N. Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah resultan ketiga vektor tersebut (besar dan arahnya).
Jawab :
Uraian setiap vektor pada sumbu-x dan sumbu-y, seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.
$ F_{1x} = F_1 \cos 37^\circ = 10 \times 0,8 = 8 \, $ N
$ F_{1y} = F_1 \sin 37^\circ = 10 \times 0,6 = 6 \, $ N
$ F_{2x} = F_2 \cos 53^\circ = 30 \times 0,6 = 18 \, $ N
$ F_{2y} = F_2 \sin 53^\circ = 30 \times 0,8 = 24 \, $ N
$ F_{3y} = F_3 \cos 37^\circ = 20 \times 0,8 = 16 \, $ N
$ F_{3x} = F_3 \sin 37^\circ = 20 \times 0,6 = 12 \, $ N
Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:
$ \sum R_x = F_{1x} - F_{2x} - F_{3x} = 8 - 18 - 12 = -22 \, $ N
$ \sum R_y = F_{1y} + F_{2y} - F_{3y} = 6 + 24 - 16 = 14 \, $ N
Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut:
$ \begin{align} R & = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \left( -22 \right)^2 + \left( 14 \right)^2 } \\ & = \sqrt{ 484 + 196 } \\ & = \sqrt{ 680 } \\ & = 26,1 \, \, \, \text{N} \end{align} $
Dan arahnya terhadap sumbu-x positif:
$ \tan \theta = \frac{ \sum R_y}{ \sum R_x} = \frac{14}{-22} = -0,64 \rightarrow \theta = 212,5 ^\circ $
3). Tiga vektor masing-masing $F_1$ = 10 N, $F_2$ = 16 N, dan $F_3$ = 12 N, disusun seperti pada gambar. (Soal UAN 2004:)
a. 5 N b. 8 N c. 10 N d. 12 N e. 18 N
Penyelesaian Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 16 N,dan F3 = 12 N.
Besar komponen pada sumbu-x :
$ F_{1x} = F1 \cos \alpha = 10 \cos 37^\circ = 8 \, $ N
$ F_{2x} = 16 \, $ N
$ F_{3x} = 0 \, $ N
Besar komponen pada sumbu-y :
$ F_{1y} = F1 \sin \alpha = 10 \sin 37^\circ = 6 \, $ N
$ F_{2y} = 0 \, $ N
$ F_{3y} = 12 \, $ N
Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:
$ \sum R_x = F_{1x} - F_{2x} + F_{3x} = 8 - 16 + 0 = -8 \, $ N
$ \sum R_y = F_{1y} + F_{2y} - F_{3y} = 6 + 0 - 12 = -6 \, $ N
Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut:
$ \begin{align} R & = \sqrt{ \left( \sum R_x \right)^2 + \left( \sum R_y \right)^2 } \\ & = \sqrt{ \left( -8 \right)^2 + \left( -6 \right)^2 } \\ & = \sqrt{ 64 + 36 } \\ & = \sqrt{ 100 } \\ & = 10 \, \, \, \text{N} \end{align} $
Jadi, jawabannya: C
4). Ditentukan dua buah vektor yang sama besarnya, yaitu F. Bila perbandingan antara besar jumlah dan selisih kedua vektor sama dengan $\sqrt{3}$ maka sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah .... (Soal SPMB 2002:)
a. 30$^\circ \, $ d. 60$^\circ \, $
b. 37$^\circ \, $ e. 120$^\circ \, $
c. 45$^\circ \, $
Penyelesaian:
Diketahui dua buah vektor besarnya = F
Besar jumlah vektor adalah:
$ R_1 = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F.F. \cos \theta } = \sqrt{2F^2 + 2F^2. \cos \theta } $
Besar selisih kedua vektor adalah:
$ R_1 = \sqrt{F^2 + F^2 - 2F.F. \cos \theta } = \sqrt{2F^2 - 2F^2. \cos \theta }$
Jika perbandingan nilai R1 dan R2 adalah $\sqrt{3}$ maka sudut $\theta $ dapat dihitung sebagai berikut:
$ \begin{align} \frac{R_1}{R_2} & = \sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{2F^2 + 2F^2. \cos \theta }}{\sqrt{2F^2 - 2F^2. \cos \theta }} & = \sqrt{3} \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta }{ 2F^2 - 2F^2. \cos \theta } & = 3 \\ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta & = 3 (2F^2 - 2F^2. \cos \theta ) \\ 2F^2 + 2F^2. \cos \theta & = 6F^2 - 6F^2. \cos \theta \\ 2F^2. \cos \theta + 6F^2. \cos \theta & = 6F^2 - 2 F^2 \\ 8F^2. \cos \theta & = 4F^2 \\ \cos \theta & = \frac{4F^2}{8F^2} \\ \cos \theta & = \frac{1}{2} \\ \theta & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, jawabannya: D.
Demikian pembahasan materi Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Uraian dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan perkalian vektor.
